372310NOUVEAU COURS
PROPOSITION V.
Theoreme.
658.
Si par l’extrêmité A de l’axe A B l’on mene une tan-
11Figure 162. gente qui aille rencontrer aux points N & F, les deux diametres
conjugués M G, I H prolongés autant qu’il eſt néceſſaire, je dis
que le rectangle des parties A N, A F eſt égal au quarré de la
moitié de l’axe C D. Ainſi il faut prouver A N x A F = C E2.
11Figure 162. gente qui aille rencontrer aux points N & F, les deux diametres
conjugués M G, I H prolongés autant qu’il eſt néceſſaire, je dis
que le rectangle des parties A N, A F eſt égal au quarré de la
moitié de l’axe C D. Ainſi il faut prouver A N x A F = C E2.
Demonstration.
Conſidérez que l’on a A L x L B égal au quarré de E K,
qui eſt xx (art. 650), & que par conſéquent AE2 (aa) : EC2 (bb)
: : A L x L B (xx) : L M2 ({bbxx/aa}); & comme ce dernier terme
eſt un quarré parfait en extrayant laracine, on aura L M = {bx/a}.
Mais comme on a auſſi (art. 649) A K x K B = L E2, on aura
encore C E2 : A E2 : : I K2 : A K x K B ou E L2, & analytique-
ment bb : aa : : yy : {aayy/bb} = L E2; & comme cette quantité
eſt auſſi un quarré, ſi on en extrait la racine, on aura EL={ay/b}.
Cela poſé, à cauſe des triangles ſemblables E A F, E L M, on
pourra former cette proportion E L : L M : : E A : A F; &
mettant les valeurs analytiques trouvées précédemment,
{ay/b} : {bx/a} : : a : {abxb/aay} = {bbx/ay} = A F. Et de même à cauſe des trian-
gles ſemblables E A N, E K I, on aura E K : E A : : I K : A N,
ou x : a : : y : {ay/x} = AN: donc AN x A F={bbx/ay}x{ay/x}=bb=CE2.
C. Q. F. D.
qui eſt xx (art. 650), & que par conſéquent AE2 (aa) : EC2 (bb)
: : A L x L B (xx) : L M2 ({bbxx/aa}); & comme ce dernier terme
eſt un quarré parfait en extrayant laracine, on aura L M = {bx/a}.
Mais comme on a auſſi (art. 649) A K x K B = L E2, on aura
encore C E2 : A E2 : : I K2 : A K x K B ou E L2, & analytique-
ment bb : aa : : yy : {aayy/bb} = L E2; & comme cette quantité
eſt auſſi un quarré, ſi on en extrait la racine, on aura EL={ay/b}.
Cela poſé, à cauſe des triangles ſemblables E A F, E L M, on
pourra former cette proportion E L : L M : : E A : A F; &
mettant les valeurs analytiques trouvées précédemment,
{ay/b} : {bx/a} : : a : {abxb/aay} = {bbx/ay} = A F. Et de même à cauſe des trian-
gles ſemblables E A N, E K I, on aura E K : E A : : I K : A N,
ou x : a : : y : {ay/x} = AN: donc AN x A F={bbx/ay}x{ay/x}=bb=CE2.
C. Q. F. D.
659.
On peut aiſément, par le moyen de cette propoſition,
déterminer dans l’ellipſe les diametres conjugués égaux: car
pour cela, il n’y a qu’à prendre ſur la perpendiculaire A N à l’ori-
gine de l’axe, une partie AR égale à CE, moitié du petit axe, &
par le centre E & lepoint R mener la ligne E R, dont la partie
compriſe entre le centre & la courbe, ſera l’un des demi-dia-
metres conjugués égaux: car puiſque l’on a toujours A N
x A F=C E2, lorſque les diametres conjugués ſont égaux,
les parties A N, A F ſont égales; & par conſéquent A R doit
être égale à C E.
déterminer dans l’ellipſe les diametres conjugués égaux: car
pour cela, il n’y a qu’à prendre ſur la perpendiculaire A N à l’ori-
gine de l’axe, une partie AR égale à CE, moitié du petit axe, &
par le centre E & lepoint R mener la ligne E R, dont la partie
compriſe entre le centre & la courbe, ſera l’un des demi-dia-
metres conjugués égaux: car puiſque l’on a toujours A N
x A F=C E2, lorſque les diametres conjugués ſont égaux,
les parties A N, A F ſont égales; & par conſéquent A R doit
être égale à C E.