444142VITELLONIS OPTICAE
ſuperficiei circuli maior uel minor ſemidiametro d a:
ſit tamẽ angulus d a z æqualis angulo g a z, &
angulus e a z æqualis angulo b a z. Dico, quòd adhuc diametri d b & e g uidebuntur æquales: quo-
484[Figure 484]e z b a d g z niam enim linea d a eſt ęqualis a g, & linea z a communis duobus trigo-
nis z a g, & z a d: eſt quoq; ex hypotheſi angulus d a z æqualis angulo g
a z: erit per 4 p 1 linea z d æqualis lineæ z g, & angulus d z a æqualis an-
gulo g z a: ergo per 19 uel 20 huius baſis d a uidebitur æqualis g a baſi.
Similiter quoq; per eadem demonſtrabitur angulus e z a æqualis angu-
lo b z a: & per pręmiſſa uidebitur linea e a ęqualis lineæ b a, & angulus a
z g æqualis eſt angulo a z d, & angulus e z a æqualis angulo a z g: ideo
accidit ut totalis angulus d z b totali angulo e z g ſit æqualis. Videbitur
ergo, ut ſuprà patuit, diameter d b æqualis diametro e g. Quod eſt pro-
poſitum. Poſsibile eſt autem hoc in quibuſdam diametris accidere, non
autem in omnibus diametris circuli taliter uiſui oppoſiti: nõ ergo opor-
tet quòd omnes diametri illius circuli uideantur æquales: non enim
illæ diametri uidebuntur æquales, cum quibus linea z a facit angulos
in æquales.
angulus e a z æqualis angulo b a z. Dico, quòd adhuc diametri d b & e g uidebuntur æquales: quo-
484[Figure 484]e z b a d g z niam enim linea d a eſt ęqualis a g, & linea z a communis duobus trigo-
nis z a g, & z a d: eſt quoq; ex hypotheſi angulus d a z æqualis angulo g
a z: erit per 4 p 1 linea z d æqualis lineæ z g, & angulus d z a æqualis an-
gulo g z a: ergo per 19 uel 20 huius baſis d a uidebitur æqualis g a baſi.
Similiter quoq; per eadem demonſtrabitur angulus e z a æqualis angu-
lo b z a: & per pręmiſſa uidebitur linea e a ęqualis lineæ b a, & angulus a
z g æqualis eſt angulo a z d, & angulus e z a æqualis angulo a z g: ideo
accidit ut totalis angulus d z b totali angulo e z g ſit æqualis. Videbitur
ergo, ut ſuprà patuit, diameter d b æqualis diametro e g. Quod eſt pro-
poſitum. Poſsibile eſt autem hoc in quibuſdam diametris accidere, non
autem in omnibus diametris circuli taliter uiſui oppoſiti: nõ ergo opor-
tet quòd omnes diametri illius circuli uideantur æquales: non enim
illæ diametri uidebuntur æquales, cum quibus linea z a facit angulos
in æquales.
55. Sirect a linea à centro circuli centro oculi incidens, non eri-
gatur ſuper ſuperficiem circuli, ne æquales angulos contineat cum
diametris, ſit́ maior ſemidiametro: diametri illius circuliinæqua-
les apparebunt: totuś circulus uidebitur ſectio columnaris: cuius
maxima eſt diameter illa, cui perpendiculariter incidit linea radia-
lis. Euclides 37. 39 th. opt.
gatur ſuper ſuperficiem circuli, ne æquales angulos contineat cum
diametris, ſit́ maior ſemidiametro: diametri illius circuliinæqua-
les apparebunt: totuś circulus uidebitur ſectio columnaris: cuius
maxima eſt diameter illa, cui perpendiculariter incidit linea radia-
lis. Euclides 37. 39 th. opt.
Eſto circulus a g b d:
cuius centrum z:
& ducantur diametri a b & g d, ſe ad inuicem orthogona
liter ſecantes: ſitq́; centrum oculi e: à quo ducatur linea e z ad centrum circuli, diametro quidem d
g ſecundum angulum rectum perpendiculariter incidens, diametro uerò a b obliquè, ut acciderit:
non erit ergo linea e z erecta ſuper ſuperficiem circuli: ſitq́ linea e z maior ſemidiametro circuli.
Dico, quòd diametri a b & g d uidebuntur in æquales: & g d maxima quidem, a b uerò minima: &
quòd totus circulus uidebitur altera parte longior, ueluti ſectio columnaris: & quòd omnis dia-
meter circuli, quæ ceciderit propior minimæ, uidebitur minor remotiore ab illa: & duæ tãtùm dia-
metri apparebunt æquales, ut illæ, quæ æqualiter diſtant ab utraq; parte à minima diametro, quæ
eſt a b. Quoniam enim diameter g d eſt perpendicularis ſuper diametrum a b, & ſuper lineam z e,
palàm per 4 p 11 quoniam linea g z eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, in qua ſunt lineæ e z & a
z, uel a b: ergo per 18 p 11 erit circulus propoſitus orthogonalis ſuper ſuperficiem e a z: ergo & e a z
ſuperficies erecta erit ſuper circulum. Ducatur ergo à puncto e ſuper ſuperficiem circuli a b g d
485[Figure 485]k e a i p g z d s b t perpendicularis per 11 p 11: hæc itaque per præmiſſa ne-
ceſſariò cadet in communem ſectionem illarum ſuper-
ficierum, quæ eſt a b: cadat ergo, & ſit e k: & ducantur li-
neæ e a, e b, e d, e g: producaturq́ diameter circuli alia,
quæ ſit s z p, conſtituens cum diametro g z d angulum
p z d æqualem angulo g z s per 15 p 1: ducatur quoque
alia diameter, quæ ſit i z t: ita ut anguli g z s & i z g ſint
æquales. Quia itaque à puncto e in aere dato ſuper ſub-
ſtratam planam ſuperficiem circuli, qui eſt a b g d, du-
cuntur duæ lineæ, una perpendiculariter, quæ eſt e k, &
alia obliquè, quæ eſt e z, & inter puncta incidentiæ, quæ
ſunt k & z, copulatur linea z k in ipſa ſuperſicie: patet
per 39 th. 1 huius, quoniam angulus e z k minimus eſt o-
mnium angulorum ſub linea e z obliquè incidente, &
ſemidiametro z i uel z p, uel quacunq; alia diametro con
tentorum: & omnis angulus iſtorum angulorum pro-
pinquior angulo e z k eſt minor remotiore: duo quo que
anguli ex utraque parte æqualiter angulo e z k appro-
ximantes, ut ſunt anguli i z k, & p z k inter ſe ſunt æqua-
les. Copulentur quoq; lineæ e i, e s, e p, e t. Quia itaq; ab
angulis duorũ trigonorũ d e g & t e i, ad medietates ſua-
rũ baſiũ æqualiũ in trigono d e g linea e z perpẽdicula-
riter incidit, & in trigono tei obliquè, eſtq́; linea e z ma
ior medietate utriuſq; illarũ baſium g d, & i t, ut patet ex
hypotheſi: ergo ք 49 th. 1 huius erit angulus d e g maior
angulo t e i: ergo ք 20 huius diameter d g uidebitur ma-
ior diametro i t. Et quoniã, ut oſtẽſum eſt ք 39 th. 1 huius,
angulus e z i eſt maior angulo e z a, ambabus uerò baſib. trigonorũ t e i & a e b, quæ ſunt i t & a b, ad
liter ſecantes: ſitq́; centrum oculi e: à quo ducatur linea e z ad centrum circuli, diametro quidem d
g ſecundum angulum rectum perpendiculariter incidens, diametro uerò a b obliquè, ut acciderit:
non erit ergo linea e z erecta ſuper ſuperficiem circuli: ſitq́ linea e z maior ſemidiametro circuli.
Dico, quòd diametri a b & g d uidebuntur in æquales: & g d maxima quidem, a b uerò minima: &
quòd totus circulus uidebitur altera parte longior, ueluti ſectio columnaris: & quòd omnis dia-
meter circuli, quæ ceciderit propior minimæ, uidebitur minor remotiore ab illa: & duæ tãtùm dia-
metri apparebunt æquales, ut illæ, quæ æqualiter diſtant ab utraq; parte à minima diametro, quæ
eſt a b. Quoniam enim diameter g d eſt perpendicularis ſuper diametrum a b, & ſuper lineam z e,
palàm per 4 p 11 quoniam linea g z eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, in qua ſunt lineæ e z & a
z, uel a b: ergo per 18 p 11 erit circulus propoſitus orthogonalis ſuper ſuperficiem e a z: ergo & e a z
ſuperficies erecta erit ſuper circulum. Ducatur ergo à puncto e ſuper ſuperficiem circuli a b g d
485[Figure 485]k e a i p g z d s b t perpendicularis per 11 p 11: hæc itaque per præmiſſa ne-
ceſſariò cadet in communem ſectionem illarum ſuper-
ficierum, quæ eſt a b: cadat ergo, & ſit e k: & ducantur li-
neæ e a, e b, e d, e g: producaturq́ diameter circuli alia,
quæ ſit s z p, conſtituens cum diametro g z d angulum
p z d æqualem angulo g z s per 15 p 1: ducatur quoque
alia diameter, quæ ſit i z t: ita ut anguli g z s & i z g ſint
æquales. Quia itaque à puncto e in aere dato ſuper ſub-
ſtratam planam ſuperficiem circuli, qui eſt a b g d, du-
cuntur duæ lineæ, una perpendiculariter, quæ eſt e k, &
alia obliquè, quæ eſt e z, & inter puncta incidentiæ, quæ
ſunt k & z, copulatur linea z k in ipſa ſuperſicie: patet
per 39 th. 1 huius, quoniam angulus e z k minimus eſt o-
mnium angulorum ſub linea e z obliquè incidente, &
ſemidiametro z i uel z p, uel quacunq; alia diametro con
tentorum: & omnis angulus iſtorum angulorum pro-
pinquior angulo e z k eſt minor remotiore: duo quo que
anguli ex utraque parte æqualiter angulo e z k appro-
ximantes, ut ſunt anguli i z k, & p z k inter ſe ſunt æqua-
les. Copulentur quoq; lineæ e i, e s, e p, e t. Quia itaq; ab
angulis duorũ trigonorũ d e g & t e i, ad medietates ſua-
rũ baſiũ æqualiũ in trigono d e g linea e z perpẽdicula-
riter incidit, & in trigono tei obliquè, eſtq́; linea e z ma
ior medietate utriuſq; illarũ baſium g d, & i t, ut patet ex
hypotheſi: ergo ք 49 th. 1 huius erit angulus d e g maior
angulo t e i: ergo ք 20 huius diameter d g uidebitur ma-
ior diametro i t. Et quoniã, ut oſtẽſum eſt ք 39 th. 1 huius,
angulus e z i eſt maior angulo e z a, ambabus uerò baſib. trigonorũ t e i & a e b, quæ ſunt i t & a b, ad
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib