513433DE MATHÉMATIQUE. Liv. XII.
donc en déſignant cette ſurface par S, on aura le ſolide du
corps A B F E = S x {a/3}. D’ailleurs, nous venons de voir que
le même ſolide eſt exprimé par {2/3}a2b, en le conſidérant com-
poſé d’élémens triangulaires, tels que I L K qui croiſſent com-
me les quarrés des ordonnées L H au quart de cercle B H G:
on aura donc S x {a/3} = {2/3}a2b, & en diviſant par {1/3}a, S = 2ab;
d’où il ſuit évidemment que le pan de voûte A B E eſt double
du triangle correſpondant A F E qui lui ſert de baſe.
corps A B F E = S x {a/3}. D’ailleurs, nous venons de voir que
le même ſolide eſt exprimé par {2/3}a2b, en le conſidérant com-
poſé d’élémens triangulaires, tels que I L K qui croiſſent com-
me les quarrés des ordonnées L H au quart de cercle B H G:
on aura donc S x {a/3} = {2/3}a2b, & en diviſant par {1/3}a, S = 2ab;
d’où il ſuit évidemment que le pan de voûte A B E eſt double
du triangle correſpondant A F E qui lui ſert de baſe.
Nota.
Il faut remarquer que ſelon la figure où la baſe A DC E
eſt un quarré, la ſurface du triangle eſt aa, parce que la per-
pendiculaire F G ſe trouve, par la propriété du quarré, égale à
la moitié A G du côté A E. Comme cela n’eſt qu’accidentel,
& que notre démonſtration doit s’entendre d’un polygone quel-
conque, il étoit à propos de ne point ſuppoſer la perpendicu-
laire G F = A G, pour que la propoſition fût démontrée dans
toute ſa généralité.
eſt un quarré, la ſurface du triangle eſt aa, parce que la per-
pendiculaire F G ſe trouve, par la propriété du quarré, égale à
la moitié A G du côté A E. Comme cela n’eſt qu’accidentel,
& que notre démonſtration doit s’entendre d’un polygone quel-
conque, il étoit à propos de ne point ſuppoſer la perpendicu-
laire G F = A G, pour que la propoſition fût démontrée dans
toute ſa généralité.
Corollaire I.
844.
Il ſuit delà que la ſurface d’une voûte en arc de cloître
en plein cintre eſt toujours double de la ſurface du polygone
11Figure 261. régulier qui lui ſert de baſe: ainſi ſuppoſant que la ligne D K
perpendiculaire au côté G N de l’exagone, ſoit égale à la ligne
I K, menée du ſommet I de la voûte perpendiculairement à
la baſe, au centre K de cette même baſe, la ſurface de cette
voûte ſera double de celle de l’exagone M N G L O H qui lui
ſert de baſe, puiſque chaque pan N I M, N I G ſera double du
triangle correſpondant N K M, N K G.
en plein cintre eſt toujours double de la ſurface du polygone
11Figure 261. régulier qui lui ſert de baſe: ainſi ſuppoſant que la ligne D K
perpendiculaire au côté G N de l’exagone, ſoit égale à la ligne
I K, menée du ſommet I de la voûte perpendiculairement à
la baſe, au centre K de cette même baſe, la ſurface de cette
voûte ſera double de celle de l’exagone M N G L O H qui lui
ſert de baſe, puiſque chaque pan N I M, N I G ſera double du
triangle correſpondant N K M, N K G.
Corollaire II.
845.
Il ſuit de cette propoſition, que la ſurface d’une demi-
ſphere eſt double du cercle qui lui ſert de baſe; enſorte que
la propoſition que nous avons démontré ſur la ſuperficie de
la ſphere devient un corollaire trés-ſimple de celle-ci; car
puiſque notre démonſtration eſt applicable à tous ies poiy-
gones réguliers, elle eſt auſſi applicable au cercle. En effet,
on peut concevoir la ſurface de la ſphere comme compoſée
d’une infinité de petits triangles curvilignes qui ont leur ſom-
met au pôle de cette demi-ſphere, & qui vont ſe terminer à
la circonférence, leſquels ſont tous, par la propoſition
ſphere eſt double du cercle qui lui ſert de baſe; enſorte que
la propoſition que nous avons démontré ſur la ſuperficie de
la ſphere devient un corollaire trés-ſimple de celle-ci; car
puiſque notre démonſtration eſt applicable à tous ies poiy-
gones réguliers, elle eſt auſſi applicable au cercle. En effet,
on peut concevoir la ſurface de la ſphere comme compoſée
d’une infinité de petits triangles curvilignes qui ont leur ſom-
met au pôle de cette demi-ſphere, & qui vont ſe terminer à
la circonférence, leſquels ſont tous, par la propoſition