6848GNOMONICES
mutuo ſecent, ita palam fiet.
Si enim non ſe interſecent, cum ſint in eodem plano horologii, pa-
rallelæ erunt. Cum igitur vtraque H I, P Q, ipſi V X, parallela ſit, & inter ſe parallelæ erunt H I,
119. vndec. P Q. Eſt autem & H K, ipſi P Q, parallela, vt ſupra demonſtrauimus. Igitur & H I, H k, inter
50[Figure 50]221033204430559. vndec.
ſe parallelæ erunt.
Quod eſt abſurdũ, cùm conueniant in H Secant ergo ſe mutuo P Q, V X.
Qua-
re V X, vtramque H λ, P Q, ſecans, per punctum λ, vbi ſe mutuo ſecant H λ, Q P, tranſibit. Nam
ſi verbi gratia, V X, ſecet rectam H λ, citra punctum λ, vel vltra, ſi producatur vlterius, ſtatim ſe-
cabit planum circuli B C, in eodem puncto, in quo rectam H λ, ſecat, ac proinde ſecare non po-
terit amplius rectam Q P, in eodem plano circuli B C, exiſtentem. Pari ratione, ſi V X, ſecet P Q,
6640 citra, vel vltra punctum λ, ſecabit quoque producta ſtatim planum circuli B C, in eodem puncto,
in quo rectam P Q, ſecat, ac propterea ſecare non poterit rectam H λ, in eodem ſemper plano
circuli B C, exiſtentem. Quare V X, niſi per punctum λ, tranſeat, vtramque H λ, Q P, non ſeca-
bit, Quod eſt abſurdum. oſtenſum eſt enim eam ſecare vtramque. Eodem modo in δ, ſe mutuo
7716. vndec. ſecabunt tres rectæ α δ, θ ε, V X. Quoniam igitur rectæ μ β, ξ γ, parallelæ ſunt, vtpote commu-
nes ſectiones planorum parallelorum F G, M N, factæ à plano circuli D B C E, nec non & rectæ
μ ξ, β γ, nempe communes ſectiones planorum parallelorum B C, Y Z, factæ à plano eodem
8834. primi. circuli D B C E; æquales erunt μ ξ, β γ. Et quia H λ, μ ξ, necnon & α δ, β γ, parallelæ etiam ſunt,
9928. primi. propterea quòd anguli ω H λ, β α δ, ad puncta contactuum H, α, recti ſunt, (ſunt enim H μ, α β,
diametri circulorum B C, Y Z, nempe communes ſectiones ipſorum, & plani F G, quod eos per
101018. tertij.111150 polos bifariam ſecat, ex propo@. 15. lib. 1. Theod.) necnon & anguli H μ ξ, α β γ, ad centra μ, β.
Cum enim per conſtructionem, recta B C, rectam H k, ad angulos rectos ſecet, rectus erit angu-
lus H μ ξ. Cum igitur rectis H μ, μ ξ, parallelæ ſint α β, β γ, erit & angulus α β γ, ipſi H μ ξ, æqualis,
121216. vndec. rectus: ſunt autem & rectæ H μ, λ ξ, nec non α β, δ γ, parallelæ, nimirum ſectiones communes
131310. vndec. planorum parallelorum F G, M N, factæ à plano circuli B C, ſi de prioribus, & à plano circuli
141416. vndec. Y Z, ſi de poſterioribus loquamur; fit vt recta δ ε, minor ſit, quàm recta λ P, vt mox demonſtra-
bimus ſequenti lemmate. Quare propinquior eſt recta V X, producta hyperbolæ O ε θ, in pun-
cto δ, quàm in puncto P; atque ita deinceps, ſi longius producantur linea horaria, & hyperbo-
le. Idemq́ue oſtendemus in hyperbola R S T. Item de linea horaria, quam facit circulus tan-
gens conicas ſuperficies in recta K L. Quamobrem ſi circulus cuiuſuis horæ à meridie, vel media
nocte plano horologii æquidiſtet, & c. Quod erat demonſtrandum.
rallelæ erunt. Cum igitur vtraque H I, P Q, ipſi V X, parallela ſit, & inter ſe parallelæ erunt H I,
119. vndec. P Q. Eſt autem & H K, ipſi P Q, parallela, vt ſupra demonſtrauimus. Igitur & H I, H k, inter
re V X, vtramque H λ, P Q, ſecans, per punctum λ, vbi ſe mutuo ſecant H λ, Q P, tranſibit. Nam
ſi verbi gratia, V X, ſecet rectam H λ, citra punctum λ, vel vltra, ſi producatur vlterius, ſtatim ſe-
cabit planum circuli B C, in eodem puncto, in quo rectam H λ, ſecat, ac proinde ſecare non po-
terit amplius rectam Q P, in eodem plano circuli B C, exiſtentem. Pari ratione, ſi V X, ſecet P Q,
6640 citra, vel vltra punctum λ, ſecabit quoque producta ſtatim planum circuli B C, in eodem puncto,
in quo rectam P Q, ſecat, ac propterea ſecare non poterit rectam H λ, in eodem ſemper plano
circuli B C, exiſtentem. Quare V X, niſi per punctum λ, tranſeat, vtramque H λ, Q P, non ſeca-
bit, Quod eſt abſurdum. oſtenſum eſt enim eam ſecare vtramque. Eodem modo in δ, ſe mutuo
7716. vndec. ſecabunt tres rectæ α δ, θ ε, V X. Quoniam igitur rectæ μ β, ξ γ, parallelæ ſunt, vtpote commu-
nes ſectiones planorum parallelorum F G, M N, factæ à plano circuli D B C E, nec non & rectæ
μ ξ, β γ, nempe communes ſectiones planorum parallelorum B C, Y Z, factæ à plano eodem
8834. primi. circuli D B C E; æquales erunt μ ξ, β γ. Et quia H λ, μ ξ, necnon & α δ, β γ, parallelæ etiam ſunt,
9928. primi. propterea quòd anguli ω H λ, β α δ, ad puncta contactuum H, α, recti ſunt, (ſunt enim H μ, α β,
diametri circulorum B C, Y Z, nempe communes ſectiones ipſorum, & plani F G, quod eos per
101018. tertij.111150 polos bifariam ſecat, ex propo@. 15. lib. 1. Theod.) necnon & anguli H μ ξ, α β γ, ad centra μ, β.
Cum enim per conſtructionem, recta B C, rectam H k, ad angulos rectos ſecet, rectus erit angu-
lus H μ ξ. Cum igitur rectis H μ, μ ξ, parallelæ ſint α β, β γ, erit & angulus α β γ, ipſi H μ ξ, æqualis,
121216. vndec. rectus: ſunt autem & rectæ H μ, λ ξ, nec non α β, δ γ, parallelæ, nimirum ſectiones communes
131310. vndec. planorum parallelorum F G, M N, factæ à plano circuli B C, ſi de prioribus, & à plano circuli
141416. vndec. Y Z, ſi de poſterioribus loquamur; fit vt recta δ ε, minor ſit, quàm recta λ P, vt mox demonſtra-
bimus ſequenti lemmate. Quare propinquior eſt recta V X, producta hyperbolæ O ε θ, in pun-
cto δ, quàm in puncto P; atque ita deinceps, ſi longius producantur linea horaria, & hyperbo-
le. Idemq́ue oſtendemus in hyperbola R S T. Item de linea horaria, quam facit circulus tan-
gens conicas ſuperficies in recta K L. Quamobrem ſi circulus cuiuſuis horæ à meridie, vel media
nocte plano horologii æquidiſtet, & c. Quod erat demonſtrandum.