7335Conicor. Lib. V.
egrediens ex puncto L cadit extra L S, quapropter duci non poteſt ex E
ad ſectionem L B A linea, aliqua cuius portio intercepta inter axim, &
ſectionem, ſit linea breuiſſima.
ad ſectionem L B A linea, aliqua cuius portio intercepta inter axim, &
ſectionem, ſit linea breuiſſima.
Pariter demonſtrabitur, quemadmodum iam oſtenſum eſt, quod ſi E D
fuerit æqualis H, tunc GI æqualis erit D F, quæ eſt æqualis ipſi A C; &
11g ideo B I (8. ex quinto) vna eſt ex breuiſſimis, non autem R K, quia de-
monſtrabitur, quod E D ad M K, nempe D R ad R M maiorem rationem
habet, quàm M F ad F D, & propterea D F maior erit, quàm R M; bre-
uiſſima ergo cadit extra R K. (13. ex quinto) Et S L quoque non eſt ex
breuiſſimis, quod ita demonſtrabimus; Si N S minor eſt, quàm D F; ergo
breuiſſima egrediens ex L cadit extra S L; Non igitur ex E duci poteſt
ad ſectionem linea breuiſecans præter E B, & hoc erat oſtendendum.
fuerit æqualis H, tunc GI æqualis erit D F, quæ eſt æqualis ipſi A C; &
11g ideo B I (8. ex quinto) vna eſt ex breuiſſimis, non autem R K, quia de-
monſtrabitur, quod E D ad M K, nempe D R ad R M maiorem rationem
habet, quàm M F ad F D, & propterea D F maior erit, quàm R M; bre-
uiſſima ergo cadit extra R K. (13. ex quinto) Et S L quoque non eſt ex
breuiſſimis, quod ita demonſtrabimus; Si N S minor eſt, quàm D F; ergo
breuiſſima egrediens ex L cadit extra S L; Non igitur ex E duci poteſt
ad ſectionem linea breuiſecans præter E B, & hoc erat oſtendendum.
Tertio loco ſit E D minor quàm H, &
oſtendetur quod E D in D F
minus eſt, quàm B G in G F; poſtea ponamus T G in G F æquale illi, &
22h erigamus ſuper F perpendicularem F V, & ducamus per T ſectionem
334. lib. 2. hyperbolicam circa duas continentes A F, & F V; duæ ſectiones ſe mu-
tuò ſecabunt in duobus punctis, & ſint K, L, & educamus ex illis duas
L N, P K M perpendiculares ad A D. Et quoniam perpendiculares K M,
T G, L N parallelæ ſunt continenti V F, erit K M in M F æquale L N in
N F (12. ex ſecundo) & quodlibet eorum æquale eſt T G in G F, quod fa-
ctum eſt æquale E D in D F; igitur E D ad K M, nempe D R ad R M eſt
vt M F ad F D, & componendo patet, quod D F eſt æqualis R M, & pro-
44i pterea K R eſt linea breuiſſima (8. ex quinto.)
minus eſt, quàm B G in G F; poſtea ponamus T G in G F æquale illi, &
22h erigamus ſuper F perpendicularem F V, & ducamus per T ſectionem
334. lib. 2. hyperbolicam circa duas continentes A F, & F V; duæ ſectiones ſe mu-
tuò ſecabunt in duobus punctis, & ſint K, L, & educamus ex illis duas
L N, P K M perpendiculares ad A D. Et quoniam perpendiculares K M,
T G, L N parallelæ ſunt continenti V F, erit K M in M F æquale L N in
N F (12. ex ſecundo) & quodlibet eorum æquale eſt T G in G F, quod fa-
ctum eſt æquale E D in D F; igitur E D ad K M, nempe D R ad R M eſt
vt M F ad F D, & componendo patet, quod D F eſt æqualis R M, & pro-
44i pterea K R eſt linea breuiſſima (8. ex quinto.)
Et ſimiliter patebit, quod L S ſit breuiſſima.
55k
Et cum B I intercipiatur inter illas patet etiam, quod B G in G F ma-
66l ius ſit, quàm E D in D F, oſtendetur vt dictum eſt, quod I G maior ſit,
quàm D F; breuiſſima ergo ducta ex B cadit inter I, & A.
66l ius ſit, quàm E D in D F, oſtendetur vt dictum eſt, quod I G maior ſit,
quàm D F; breuiſſima ergo ducta ex B cadit inter I, & A.
Deindè ex concurſu E ad ſectionem parobolicam A B Z educamus E X,
77m E Z; quas interſecant l Z, X Y perpendiculares ad A D, quæ parallelæ
ſunt continenti F V ſecantes K T L hyperbolen, ergo a Y in Y F æquale
eſt G T in G F, quod factum eſt æquale E D in D F, itaque E D in D F
maius eſt, quàm X Y in Y F; igitur E D ad X Y, quæ eſt vt D b ad b Y
maiorem rationem habet, quàm Y F ad F D, & componendo patet, quod
F D maior eſt quàm b Y; itaque breuiſſima egrediens ex X abſcindit ex
A D lineam maiorem, quàm b A; Simili modo demonſtrabitur, quod Z c
non ſit breuiſſima, & quod breuiſſima egrediens ex Z abſcindit ex A D
88n lineam maiorem, quàm A c, & hoc erat propoſitum.
77m E Z; quas interſecant l Z, X Y perpendiculares ad A D, quæ parallelæ
ſunt continenti F V ſecantes K T L hyperbolen, ergo a Y in Y F æquale
eſt G T in G F, quod factum eſt æquale E D in D F, itaque E D in D F
maius eſt, quàm X Y in Y F; igitur E D ad X Y, quæ eſt vt D b ad b Y
maiorem rationem habet, quàm Y F ad F D, & componendo patet, quod
F D maior eſt quàm b Y; itaque breuiſſima egrediens ex X abſcindit ex
A D lineam maiorem, quàm b A; Simili modo demonſtrabitur, quod Z c
non ſit breuiſſima, & quod breuiſſima egrediens ex Z abſcindit ex A D
88n lineam maiorem, quàm A c, & hoc erat propoſitum.
PROPOSITIO LII. LIII.
Deindè ſit ſectio hyperbole, aut ellipſis A B, &
axis illius C
A D, centrum C, & D A menſura, quæ ſit maior dimidio ere-
cti, & perpendicularis E D. Dico, quod rami egredientes ex E
habent ſuperiùs expoſitas proprietates.
99aA D, centrum C, & D A menſura, quæ ſit maior dimidio ere-
cti, & perpendicularis E D. Dico, quod rami egredientes ex E
habent ſuperiùs expoſitas proprietates.