75889allerhand aſtronomiſcher Inſtrumenten.
Linien G a und H b fallen, ſo werden die zween geradwinklichte Triangel
C a G und C b H einander gleich ſeyn, weilen nun auch darinnen alle Win-
kel mit der Seite C H oder CG als die Eccentricität bekannt ſind, ſo wer-
den auch aus der Trigonometrie die übrigen Seiten C a und G a bekannt
werden.
C a G und C b H einander gleich ſeyn, weilen nun auch darinnen alle Win-
kel mit der Seite C H oder CG als die Eccentricität bekannt ſind, ſo wer-
den auch aus der Trigonometrie die übrigen Seiten C a und G a bekannt
werden.
Denominatio.
In dieſen Triangeln ſeye G a oder Hb = b, C a oder
C b = c, und alſo a b in der Figur = 2 c, die Summe der Seiten GF + FH
oder A P = d, die unbekannte Seite = x, ſo iſt demnach die Linie F H =
d - x: Nach der 47 Prop. des 1 Buchs Euclidis iſt a F = √xx - bb und
b F = 2c + √xx - bb, dieweilen aber das Quadrat der Linie FH = dd -
2dx + xx, ſo wird die Linie b F (ſo man nemlich das Quadrat der Li-
nie H b von dem Quadrat FH abziehet) = √dd - 2dx + xx - bb, nun
ergiebet ſich eine Gleichheit zwiſchen zwoen Quantitäten da 2c +
√xx - bb = √dd - 2 dx + xx - bb nach angeſtellter Reduction findet man
daß xx = dx + cc - {1/4} dd - {4b b c c/dd - 4cc} und alſo x = {1/2} d + √cc {4 bbcc/dd - 4cc}
ſo man nun d gleich ſupponiret, der Zahl 1, wird die Gleichung,
als x = {1/2} + √cc - {4 bb cc,/1 - 4 cc,} aus dieſem wäre nun die Conſtructio Geo-
metrica gar leicht zu erlernen, wir haben aber vielmehr eine Regulam Arith-
meticam daraus zu ziehen, die in folgenden beſtehet.
C b = c, und alſo a b in der Figur = 2 c, die Summe der Seiten GF + FH
oder A P = d, die unbekannte Seite = x, ſo iſt demnach die Linie F H =
d - x: Nach der 47 Prop. des 1 Buchs Euclidis iſt a F = √xx - bb und
b F = 2c + √xx - bb, dieweilen aber das Quadrat der Linie FH = dd -
2dx + xx, ſo wird die Linie b F (ſo man nemlich das Quadrat der Li-
nie H b von dem Quadrat FH abziehet) = √dd - 2dx + xx - bb, nun
ergiebet ſich eine Gleichheit zwiſchen zwoen Quantitäten da 2c +
√xx - bb = √dd - 2 dx + xx - bb nach angeſtellter Reduction findet man
daß xx = dx + cc - {1/4} dd - {4b b c c/dd - 4cc} und alſo x = {1/2} d + √cc {4 bbcc/dd - 4cc}
ſo man nun d gleich ſupponiret, der Zahl 1, wird die Gleichung,
als x = {1/2} + √cc - {4 bb cc,/1 - 4 cc,} aus dieſem wäre nun die Conſtructio Geo-
metrica gar leicht zu erlernen, wir haben aber vielmehr eine Regulam Arith-
meticam daraus zu ziehen, die in folgenden beſtehet.
Man multipliciret die Linie A P, nachdeme man zuvor die Linien
aC und aG ganz accurat nach der Trigonometrie determiniret, mit ſich
ſelbſten, quadriret gleichfalls die Seite a C und multipliciret dieſes Qua-
drat mit 4, ſolches Quadruplum Quadrati A C, unter der Expreßion 4 a
C2, ziehet man von dem Quadrat der Linea A P ab, dann der Reſt un-
ter der Bezeichnung A P2 - 4 a C2 ausgedruckt ſich befindet, ferner quadri-
ret man auch die Seite aG, und notiret das Quadrat mit a G2, alsdann
ſtellet man dieſe drey Zahlen nach der Regel de Tri, ſagend: Gleichwie
A P2 - 4 aC2 giebt 4 aC2, ſo giebet aC2 die vierte Proportionalzahl, welche
man endlich von dem Quadrat aC2 ſubtrahiret, aus dem Reſt ziehet man
Radicem quadratam, addiret ſolche zu A C, der halben gegebenen Linie
von A P, ſo wird man die längſte Seite als F H bekommen, ſo man nun
dieſe von AC ſubtrahiret, wird man in dem Triangel G F H die kurze G F
auch richtig erlangen. Nachdeme nun in erſtbeſagten Triangel alle drey
Seiten, oder in den Triangeln G F C, H F C, zwo Seiten ſamt einem
Winkel GCF, HCF, bekannt ſind, ſo kann man auch endlich die übrige Win-
kel, nebſt der Seite F C ausrechnen, und demnach auch den ganzen Win-
kel GFH, als die Aequationem ellipticam, finden.
aC und aG ganz accurat nach der Trigonometrie determiniret, mit ſich
ſelbſten, quadriret gleichfalls die Seite a C und multipliciret dieſes Qua-
drat mit 4, ſolches Quadruplum Quadrati A C, unter der Expreßion 4 a
C2, ziehet man von dem Quadrat der Linea A P ab, dann der Reſt un-
ter der Bezeichnung A P2 - 4 a C2 ausgedruckt ſich befindet, ferner quadri-
ret man auch die Seite aG, und notiret das Quadrat mit a G2, alsdann
ſtellet man dieſe drey Zahlen nach der Regel de Tri, ſagend: Gleichwie
A P2 - 4 aC2 giebt 4 aC2, ſo giebet aC2 die vierte Proportionalzahl, welche
man endlich von dem Quadrat aC2 ſubtrahiret, aus dem Reſt ziehet man
Radicem quadratam, addiret ſolche zu A C, der halben gegebenen Linie
von A P, ſo wird man die längſte Seite als F H bekommen, ſo man nun
dieſe von AC ſubtrahiret, wird man in dem Triangel G F H die kurze G F
auch richtig erlangen. Nachdeme nun in erſtbeſagten Triangel alle drey
Seiten, oder in den Triangeln G F C, H F C, zwo Seiten ſamt einem
Winkel GCF, HCF, bekannt ſind, ſo kann man auch endlich die übrige Win-
kel, nebſt der Seite F C ausrechnen, und demnach auch den ganzen Win-
kel GFH, als die Aequationem ellipticam, finden.