8547DE MATHÉMATIQUE. Liv. I.
Démonstration.
Pour entendre la raiſon de ces opérations, on fera atten-
tion qu’une fraction devient d’autant plus grande, que ſon nu-
mérateur augmente, le dénominateur reſtant le même; donc
pour avoir une fraction deux ou trois fois plus grande, il ſuffit
de multiplier le numérateur par 2 ou par 3: donc pour le pre-
mier cas, pour multiplier une fraction par un entier, il ſuffit
de multiplier le numérateur de la fraction par l’entier.
tion qu’une fraction devient d’autant plus grande, que ſon nu-
mérateur augmente, le dénominateur reſtant le même; donc
pour avoir une fraction deux ou trois fois plus grande, il ſuffit
de multiplier le numérateur par 2 ou par 3: donc pour le pre-
mier cas, pour multiplier une fraction par un entier, il ſuffit
de multiplier le numérateur de la fraction par l’entier.
Pour le ſecond cas, lorſque le multiplicateur eſt auſſi une
fraction, on remarquera que lorſque je multiplie une fraction
{2/3}, par exemple par {4/5}, & que je multiplie d’abord le numéra-
teur 2 de la premiere par le numérateur 4 de la ſeconde, je
multiplie par un nombre cinq fois trop grand, puiſque je ne
me propoſe pas de multiplier cette fraction par l’entier 4, mais
ſeulement par la cinquieme partie de 4; & c’eſt ce que je fais
effectivement en multipliant le dénominateur 3 par le déno-
minateur 5 (art. 95); car après cette multiplication, les par-
ties ne ſont plus que la cinquieme partie de ce qu’elles étoient
avant.
fraction, on remarquera que lorſque je multiplie une fraction
{2/3}, par exemple par {4/5}, & que je multiplie d’abord le numéra-
teur 2 de la premiere par le numérateur 4 de la ſeconde, je
multiplie par un nombre cinq fois trop grand, puiſque je ne
me propoſe pas de multiplier cette fraction par l’entier 4, mais
ſeulement par la cinquieme partie de 4; & c’eſt ce que je fais
effectivement en multipliant le dénominateur 3 par le déno-
minateur 5 (art. 95); car après cette multiplication, les par-
ties ne ſont plus que la cinquieme partie de ce qu’elles étoient
avant.
98.
Si l’on avoit un entier &
une fraction à multiplier par
un entier & une fraction, on donneroit à chaque entier le
même dénominateur que la fraction qui l’accompagne, en le
multipliant par le dénominateur, & le diviſant par le même;
on multiplieroit les deux nouvelles fractions qui en réſulte-
roient l’une par l’autre, & le produit ſeroit le produit que l’on
demande. Par exemple, (3 + {5/6}) x (4 + {8/9}) = ({18 + 5/6}) x ({36+8/9})
= {23/6} x {44/9} = {1012/54}; de même pour multiplier {bx/a} - y par {bx/a} +y
je réduis les entiers en fractions, en le multipliant par le dé-
nominateur de la fraction, à laquelle ils ſont liés par les ſignes
+ ou -, & il vient {bx - ay/a} & {bx + ay/a}, & multipliant les deux
numérateurs l’un par l’autre, c’eſt-à-dire bx - ay par bx + ay,
il vient bbxx - abxy + abxy - aayy ou bbxx - aayy, à qui
il faut donner pour dénominateur le produit des dénomina-
teurs des deux fractions, qui ſera aa, & l’on écrira {bbxx - aayy/aa}
pour le produit de la multiplication, ou bien {bbxx/aa} - yy.
un entier & une fraction, on donneroit à chaque entier le
même dénominateur que la fraction qui l’accompagne, en le
multipliant par le dénominateur, & le diviſant par le même;
on multiplieroit les deux nouvelles fractions qui en réſulte-
roient l’une par l’autre, & le produit ſeroit le produit que l’on
demande. Par exemple, (3 + {5/6}) x (4 + {8/9}) = ({18 + 5/6}) x ({36+8/9})
= {23/6} x {44/9} = {1012/54}; de même pour multiplier {bx/a} - y par {bx/a} +y
je réduis les entiers en fractions, en le multipliant par le dé-
nominateur de la fraction, à laquelle ils ſont liés par les ſignes
+ ou -, & il vient {bx - ay/a} & {bx + ay/a}, & multipliant les deux
numérateurs l’un par l’autre, c’eſt-à-dire bx - ay par bx + ay,
il vient bbxx - abxy + abxy - aayy ou bbxx - aayy, à qui
il faut donner pour dénominateur le produit des dénomina-
teurs des deux fractions, qui ſera aa, & l’on écrira {bbxx - aayy/aa}
pour le produit de la multiplication, ou bien {bbxx/aa} - yy.