Bélidor, Bernard Forest de - Nouveau cours de mathématique à l' usage de l' artillerie et du génie : où l' on applique les parties les plus utiles de cette science à la théorie & à la pratique des différens sujets qui peuvent avoir rapport à la guerre

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8951DE MATHÉMATIQUE. Liv. I. numérateur de la fraction dividende par le dénominateur de
la fraction diviſeur, & le dénominateur de la même fraction
dividende par le numérateur de l’autre, c’eſt ce qu’on appelle
ordinairement multiplier en croix. Cette regle eſt générale
pour les fractions numériques & algébriques; ainſi pour di-
viſer la fraction {2/3} par la fraction {4/5}, je multiplie le numérateur
2 de la premiere fraction dividende par le dénominateur 5
de la fraction diviſeur; je multiplie de même le dénomi-
nateur 3 de la premiere par le numérateur 4 de la ſeconde, &
mettant les deux produits 10, 12 en fraction, j’ai pour quo-
tient des fractions données, diviſées l’une par l’autre, la frac-
tion {10/12} ou {5/6} qui lui eſt égale. De même la fraction {15/17} diviſée
par {3/4} = {15 x 4/17 x 3} = {60/51} = {20/17}, en réduiſant le produit. En général
une fraction {a/b} diviſée par {c/d} = {a x d/b x c} = {ad/bc}, une fraction {df + gh/b}
diviſée par la fraction {a/c} = {cdf + cgh/ab}, {a + b/c} x {df/a - b} = {√a + b\x{0020} x √a - b\x{0020}/cdf}
= {aa - bb/cdf}, & ainſi des autres.

Démonstration.

La raiſon de cette opération eſt toujours déduite des mê-
mes principes que les précédentes. Quand je multiplie le dé-
nominateur 3 de la fraction {2/3} par le numérateur 4 de la frac-
tion {4/5}, je rends la fraction propoſée cinq fois plus petite
(art. 103.) que je ne me propoſe de le faire, puiſque je ne veux
pas la diviſer par quatre entier, mais ſeulement par la cinquieme
partie de 4, puiſque la fraction {4/5} ne vaut que cela (art. 102);
donc il faut la rendre cinq fois plus grande pour la remettre dans
l’état où elle doit être; c’eſt ce que je fais en multipliant en-
ſuite le numérateur de la fraction dividende par le dénomina-
teur 5 de la fraction diviſeur. La démonſtration ſubſiſte tou-
jours dans toute ſa force pour les fractions algébriques, cepen-
dant on peut la prouver directement comme il ſuit.

Pour prouver que la fraction {a/b}, diviſée par la fraction {c/d}
donne au quotient {ad/bc}, nous ſuppoſerons que {a/b} = f, & que
{c/d} = g, & nous ferons voir que {ad/bc} = {f/g}: pour cela, faites at-
tention que puiſque l’on a par hypotheſe {a/b} = f, & {c/d} = g,

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