13699Ioan. de Sacro Boſco.
THEOR. 13. PROPOS. 15.
Area cuiuslibet corporis planis ſuper ficiebus contenti, &
circa ſphę
11Corpus
quodlibet,
in qua ſphę
ra deſcribi
poteſt, cui
parallelepi-
pedo æqua-
le ſit. ram aliquam circumſcriptibilis, hoc eſt, à cuius puncto aliquo medio omnes
perpendiculares ad baſes eius productæ ſunt æquales, æqualis eſt ſolido re-
ctangulo contento ſub una perpendicularium, & tertia parte ambitus cor-
poris.
11Corpus
quodlibet,
in qua ſphę
ra deſcribi
poteſt, cui
parallelepi-
pedo æqua-
le ſit. ram aliquam circumſcriptibilis, hoc eſt, à cuius puncto aliquo medio omnes
perpendiculares ad baſes eius productæ ſunt æquales, æqualis eſt ſolido re-
ctangulo contento ſub una perpendicularium, & tertia parte ambitus cor-
poris.
Esto corpus planis ſupeificiebus contentum A B C D, circa ſphæram
E F G H, cuius centrum I, deſcriptum, in quo ducantur ex I, ad puncta con-
tactuum lineę rectæ I E, I F, I G, I H, quæ ad baſes ſolidi erunt perpendicula-
res. Nam ſi v. g. per rectam I E, ducatur planum faciens in ſphæra, per propoſ.
1. lib. 1. Theod. circulum E F G H, & in baſi rectam A B, tanget circulus
E F G H, rectam A B, in puncto E, propterea quòd ſphæra baſim non ſecat,
223. undec. ſed tangit. Igitur I E, ad rectam A B, perpendicularis erit. Eadem ratione, ſi
per I E, ducatur aliud planum à priori dif-
37[Figure 37]3318. tertij.
ferens, fiet alius circulus in ſphęra, &
alia li
nea recta in eadem baſi ſecans rectam A B,
in E, ad quã etiam I E, perpẽdicularis erit
Ac propterea I E, ad baſim ſolidi per illas
rectas ductam perpendicularis erit. Nõ ali-
ter oſtendemus, rectas I F, I G, I H, ad
444. vndec. alias baſes eſſe perpendiculares. Sit quo-
que ſolidum rectangulum L R, cuius baſis
K L M N, ſit æqualis tertiæ parti ambitus
corporis A B C D; altitudo uero, ſiue per
pendicularis L P, æqualis uni perpendicu-
lariũ ex centro I, ad baſes corporis ABCD,
cadentiũ; quæ omnes inter ſe ęquales ſunt
ex defi. ſphæræ. Dico, ſolidum L R, corpori
A B C D, æquale eſſe. Ducantur enim ex
centro I, ad oẽs angulos corporis ABCD,
rectę lineę, vt totum corpus in pyramides,
ex quibus componitur, diuidatur: quarum
quidem pyramidum baſes eędem ſunt, quę
corporis, vertex autem communis centrum I. Quoniam igitur (per præceden
tem propoſ.) quælibet harum pyramidum æqualis eſt ſolido rectangulo ſub
perpendiculari L P, quæ ſingulis perpendicularibus corporis A B C D, æqua-
lis ponitur, & tertia parte ſuæ baſis contento; Si fiant tot ſolida rectangula,
quot ſunt pyramides, erunt omnia hęc ſimul æqualia ſolido rectangulo L R.
(Si enim rectangulum K L M N, diuidatur in tot rectangula, quot baſes ſunt
in ſolido propoſito, ita ut primum æquale ſit tertię parti unius baſis, & ſe-
cundum tertiæ parti alterius, & ita deinceps, quandoquidem totum rectangu-
lum K L M N, æquale ponitur tertię parti totius ambitus ſolidi, intelligan-
tur autem ſuper illa rectangula conſtitui parallelepipeda; erunt omnia ſimul
æqualia parallelepipedo L R.) Cum ergo ſingula parallelepipeda ſingulis py-
ramidibus ſint ęqualia, per propoſ. pręcedentem; erunt quoque omnes
E F G H, cuius centrum I, deſcriptum, in quo ducantur ex I, ad puncta con-
tactuum lineę rectæ I E, I F, I G, I H, quæ ad baſes ſolidi erunt perpendicula-
res. Nam ſi v. g. per rectam I E, ducatur planum faciens in ſphæra, per propoſ.
1. lib. 1. Theod. circulum E F G H, & in baſi rectam A B, tanget circulus
E F G H, rectam A B, in puncto E, propterea quòd ſphæra baſim non ſecat,
223. undec. ſed tangit. Igitur I E, ad rectam A B, perpendicularis erit. Eadem ratione, ſi
per I E, ducatur aliud planum à priori dif-
nea recta in eadem baſi ſecans rectam A B,
in E, ad quã etiam I E, perpẽdicularis erit
Ac propterea I E, ad baſim ſolidi per illas
rectas ductam perpendicularis erit. Nõ ali-
ter oſtendemus, rectas I F, I G, I H, ad
444. vndec. alias baſes eſſe perpendiculares. Sit quo-
que ſolidum rectangulum L R, cuius baſis
K L M N, ſit æqualis tertiæ parti ambitus
corporis A B C D; altitudo uero, ſiue per
pendicularis L P, æqualis uni perpendicu-
lariũ ex centro I, ad baſes corporis ABCD,
cadentiũ; quæ omnes inter ſe ęquales ſunt
ex defi. ſphæræ. Dico, ſolidum L R, corpori
A B C D, æquale eſſe. Ducantur enim ex
centro I, ad oẽs angulos corporis ABCD,
rectę lineę, vt totum corpus in pyramides,
ex quibus componitur, diuidatur: quarum
quidem pyramidum baſes eędem ſunt, quę
corporis, vertex autem communis centrum I. Quoniam igitur (per præceden
tem propoſ.) quælibet harum pyramidum æqualis eſt ſolido rectangulo ſub
perpendiculari L P, quæ ſingulis perpendicularibus corporis A B C D, æqua-
lis ponitur, & tertia parte ſuæ baſis contento; Si fiant tot ſolida rectangula,
quot ſunt pyramides, erunt omnia hęc ſimul æqualia ſolido rectangulo L R.
(Si enim rectangulum K L M N, diuidatur in tot rectangula, quot baſes ſunt
in ſolido propoſito, ita ut primum æquale ſit tertię parti unius baſis, & ſe-
cundum tertiæ parti alterius, & ita deinceps, quandoquidem totum rectangu-
lum K L M N, æquale ponitur tertię parti totius ambitus ſolidi, intelligan-
tur autem ſuper illa rectangula conſtitui parallelepipeda; erunt omnia ſimul
æqualia parallelepipedo L R.) Cum ergo ſingula parallelepipeda ſingulis py-
ramidibus ſint ęqualia, per propoſ. pręcedentem; erunt quoque omnes