1rum, ſiue dicas quadrata quoque earum eſſe commenſurabilia, v. g. linea dua
121[Figure 121]
rum vnciarum, & linea trium vnciarum ſunt
commenſurabiles longitudine, & potentia,
quia potentia lineæ duarum vnciarum, ſiue
quadratum, eſt quatuor vnciarum ſuperficia
lium: & quadratum lineæ trium vnciarum,
eſt nouem vnciarum quadratarum, vt patet
in figuris, quorum quadratorum communis
menſura eſt vncia vna quadrata. atque hanc
illi nullo modo diuidi poſſe contendebant.
121[Figure 121]rum vnciarum, & linea trium vnciarum ſunt
commenſurabiles longitudine, & potentia,
quia potentia lineæ duarum vnciarum, ſiue
quadratum, eſt quatuor vnciarum ſuperficia
lium: & quadratum lineæ trium vnciarum,
eſt nouem vnciarum quadratarum, vt patet
in figuris, quorum quadratorum communis
menſura eſt vncia vna quadrata. atque hanc
illi nullo modo diuidi poſſe contendebant.
279
Tertius locus (Præterea ſi quis communem ſtatam, ac determinatam menſu
ram faciat diuiduam, non erit amplius in rerum natura linea vlla rationalis, aut
irrationalis, reſpectu expoſitæ, ac determinatæ lineæ; neque aliarum vlla erit, de
quibus modo dictum eſt, veluti quam Apotomen vocant ex duobus nominibus. Ve
rùm neque ſecundum ſe aliquam definitam naturam habebunt, ſed collatæ ſibi ipſis
tam rationales, quàm irrationales erunt omnes.
ram faciat diuiduam, non erit amplius in rerum natura linea vlla rationalis, aut
irrationalis, reſpectu expoſitæ, ac determinatæ lineæ; neque aliarum vlla erit, de
quibus modo dictum eſt, veluti quam Apotomen vocant ex duobus nominibus. Ve
rùm neque ſecundum ſe aliquam definitam naturam habebunt, ſed collatæ ſibi ipſis
tam rationales, quàm irrationales erunt omnes.
Hæc eſt alia eorumdem ratio ad idem comprobandum: quam, vt benè
percipiamus, nonnulla prius ex definitionibus 10. Elem. ſunt explicanda:
vt quæ nam ſint lineæ rationales, quæ irrationales, quæ ex binis nomini
bus, quæ Apotomæ.
percipiamus, nonnulla prius ex definitionibus 10. Elem. ſunt explicanda:
vt quæ nam ſint lineæ rationales, quæ irrationales, quæ ex binis nomini
bus, quæ Apotomæ.
Propoſita igitur linea quapiam, v. g. trium palmorum qualis eſt linea A,
poſſunt inueniri quamplurimæ lineæ, quarum aliæ ſint illi longitudine com
122[Figure 122]
menſurabiles, ſiue quæ cum expoſita A, ha
beant communem menſuram. v. g. linea B,
quinque palmorum eſt commenſurabilis lineæ
A, quia vtramque communis menſura vnius
palmi metitur: aliæ verò ſint eidem A, lon
gitudine incommenſurabiles, qualis eſſet diameter C D, quadrati lineæ A,
quæ eſt cum latere A, incommenſurabilis ex vltima 10.
poſſunt inueniri quamplurimæ lineæ, quarum aliæ ſint illi longitudine com
122[Figure 122]menſurabiles, ſiue quæ cum expoſita A, ha
beant communem menſuram. v. g. linea B,
quinque palmorum eſt commenſurabilis lineæ
A, quia vtramque communis menſura vnius
palmi metitur: aliæ verò ſint eidem A, lon
gitudine incommenſurabiles, qualis eſſet diameter C D, quadrati lineæ A,
quæ eſt cum latere A, incommenſurabilis ex vltima 10.
123[Figure 123]
Cæterum lineam primò expoſitam, vt eſt in præ
ſentia A, quod eſſet notæ quantitatis, Græci appella
runt Ρήτην, ideſt rationalem, quemadmodum Latini
eam appellant.
ſentia A, quod eſſet notæ quantitatis, Græci appella
runt Ρήτην, ideſt rationalem, quemadmodum Latini
eam appellant.
Linearum autem longitudine incommenſurabilium
cum expoſita rationali A, aliæ ſunt, quæ tamen ſunt
commenſurabiles eidem potentia, ideſt conſtituunt
quadrata, quæ ſunt commenſurabilia quadrato ra
tionali A, vt linea C D, cum ſit diameter quadrati li
neæ A, quadratum exhibet, quod eſt duplum quadrati lineæ A, ex 47. primi,
quadratum autem lineæ A, eſt nouem, igitur quadratum eius duplum erit
octodecim, quadratum ſcilicet lineæ C D. octodecim autem, & nouem ſunt
commenſurabilia communi vnitatis menſura, huiuſmodi lineæ dicuntur com
menſurabiles potentia tantum, potentia. n. lineæ dicuntur quadratum illius.
cum expoſita rationali A, aliæ ſunt, quæ tamen ſunt
commenſurabiles eidem potentia, ideſt conſtituunt
quadrata, quæ ſunt commenſurabilia quadrato ra
tionali A, vt linea C D, cum ſit diameter quadrati li
neæ A, quadratum exhibet, quod eſt duplum quadrati lineæ A, ex 47. primi,
quadratum autem lineæ A, eſt nouem, igitur quadratum eius duplum erit
octodecim, quadratum ſcilicet lineæ C D. octodecim autem, & nouem ſunt
commenſurabilia communi vnitatis menſura, huiuſmodi lineæ dicuntur com
menſurabiles potentia tantum, potentia. n. lineæ dicuntur quadratum illius.
Quæ igitur rationali propoſitæ ſunt commenſurabiles aliquo modo, ſiue
longitudine, & potentia (quæcunque enim commenſurabilis eſt longitudine,
eſt etiam potentia) ſiue potentia ſolùm, rationales ipſæ quoque
longitudine, & potentia (quæcunque enim commenſurabilis eſt longitudine,
eſt etiam potentia) ſiue potentia ſolùm, rationales ipſæ quoque