1040τῆς ΛΜ πρὸς ΛΘ. ἀλλ' ὁ μὲν τῆς ΚΛ πρὸς ΛΜ λόγος
ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΕ πρὸς ΕΓ διὰ τὸ παράλληλον
εἶναι πάλιν τὴν ΕΔ τῇ ΓΜ, ὁ δὲ τῆς ΛΜ πρὸς ΛΘ λό-
γος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΘ διὰ τὸ ἰσογώνια
εἶναι τὰ ΔΘΛ ΓΘΜ τρίγωνα· ὁ ἄρα τῆς ΚΛ πρὸς ΛΘ
λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΕ πρὸς
ΕΓ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΔΓ, καὶ τοῦ τῆς ΓΔ
πρὸς τὴν ΔΘ λόγου, ὃς τὸν τῆς ἰσότητος λόγον ποιεῖ· καὶ
ὁ τῆς ΚΛ ἄρα πρὸς τὴν ΛΘ λόγος τῆς ἰσότητός ἐστιν·
ἴση ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΛΘ.
ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΕ πρὸς ΕΓ διὰ τὸ παράλληλον
εἶναι πάλιν τὴν ΕΔ τῇ ΓΜ, ὁ δὲ τῆς ΛΜ πρὸς ΛΘ λό-
γος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΘ διὰ τὸ ἰσογώνια
εἶναι τὰ ΔΘΛ ΓΘΜ τρίγωνα· ὁ ἄρα τῆς ΚΛ πρὸς ΛΘ
λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΕ πρὸς
ΕΓ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΔΓ, καὶ τοῦ τῆς ΓΔ
πρὸς τὴν ΔΘ λόγου, ὃς τὸν τῆς ἰσότητος λόγον ποιεῖ· καὶ
ὁ τῆς ΚΛ ἄρα πρὸς τὴν ΛΘ λόγος τῆς ἰσότητός ἐστιν·
ἴση ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΛΘ.
ε#. Τὸ λοιπὸν τῶν ὑπερτεθέντων. ἔστω παράλληλος
ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΓΘ πρὸς ΘΔ,
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΒΔ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ
Ε σημεῖον· ὅτι ἡ διὰ τῶν Ζ Ε Θ εὐθεῖά ἐστιν.
ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΓΘ πρὸς ΘΔ,
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ ΒΔ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ
Ε σημεῖον· ὅτι ἡ διὰ τῶν Ζ Ε Θ εὐθεῖά ἐστιν.
Εἰ γὰρ μή, ἔστω ἡ διὰ τῶν Ζ Ε Η. ἐπεὶ οὖν ἐστιν
2[Figure 2]ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΓΗ, οὕτως
ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ὡς δὲ ἡ ΖΕ
πρὸς ΕΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς
ΗΔ, ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ΓΗ,
οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς ΗΔ, καὶ
ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ,
τουτέστιν ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΘΔ,
οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΔ, ὅπερ
ἀδύνατον· ἡ ἄρα διὰ τῶν
Ζ Ε Θ σημείων εὐθεῖά ἐστιν.
ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ὡς δὲ ἡ ΖΕ
πρὸς ΕΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς
ΗΔ, ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ΓΗ,
οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς ΗΔ, καὶ
ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ,
τουτέστιν ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΘΔ,
οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΔ, ὅπερ
ἀδύνατον· ἡ ἄρα διὰ τῶν
Ζ Ε Θ σημείων εὐθεῖά ἐστιν.
ς#. Παραλληλογράμμου δοθέντος ὀρθογωνίου τοῦ ΑΓ,
διαγαγεῖν τὴν ΓΔ ὥστε τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου ἀρτηθέντος
ἀπὸ τοῦ Δ τὰς ΑΔ ΒΓ παραλλήλους εἶναι τῷ ὁρίζοντι.
διαγαγεῖν τὴν ΓΔ ὥστε τοῦ ΑΒΓΔ τραπεζίου ἀρτηθέντος
ἀπὸ τοῦ Δ τὰς ΑΔ ΒΓ παραλλήλους εἶναι τῷ ὁρίζοντι.
Γεγονέτω· ἡ ἄρα διὰ τοῦ Δ καὶ τοῦ κέντρου τοῦ βά-
ρους τοῦ τραπεζίου ἀγομένη εὐθεῖα κάθετος ἔσται ἐπὶ
τὸν ὁρίζοντα καὶ ἐπὶ τὴν ΒΓ. ἔστω ἡ ΔΛ, καὶ τε-
τμήσθω δίχα ἡ ΔΛ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ,
ρους τοῦ τραπεζίου ἀγομένη εὐθεῖα κάθετος ἔσται ἐπὶ
τὸν ὁρίζοντα καὶ ἐπὶ τὴν ΒΓ. ἔστω ἡ ΔΛ, καὶ τε-
τμήσθω δίχα ἡ ΔΛ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ,