10189THEOR. ARITH.
THEOREMA CXXXII.
SED quia aliquis poſſet in dubium reuocare, an poſſibile ſit inuenire tertium
terminum rationalem, ſeu communicantem duobus datis terminis inter ſe com
municantibus in tali proportionalitate, hoc eſt harmonica. Vthoc oſtendatur.
terminum rationalem, ſeu communicantem duobus datis terminis inter ſe com
municantibus in tali proportionalitate, hoc eſt harmonica. Vthoc oſtendatur.
Sint duo termini dati .a.o. et .a.e. inter ſe communicantes, tertius verò inuentus
ſit .a.c. qui maximus, primò, ſit in ea proportionalitate, quem dico communicantem
eſſe cum primis datis.
ſit .a.c. qui maximus, primò, ſit in ea proportionalitate, quem dico communicantem
eſſe cum primis datis.
Nam ex conditionibus huiuſmodi proportionalitatis, habebimus primum ean-
dem proportionem eſſe .a.c. ad .a.o. quæ eſt .e.c. ad .e.o. vnde permutando ita erit .a.
c. ad .e.c. vt .a.o. ad .o.e. & quia ex .9. decimi Euclid .a.o. communicat cum .o.e. quare
ex .10. eiuſdem .a.c. communicabit cum .e.c. & per .9. cum .a.e. et per .8. cum .a.o.
quodeſt propoſitum.
dem proportionem eſſe .a.c. ad .a.o. quæ eſt .e.c. ad .e.o. vnde permutando ita erit .a.
c. ad .e.c. vt .a.o. ad .o.e. & quia ex .9. decimi Euclid .a.o. communicat cum .o.e. quare
ex .10. eiuſdem .a.c. communicabit cum .e.c. & per .9. cum .a.e. et per .8. cum .a.o.
quodeſt propoſitum.
Sed ſi datus fuerit maximus .a.c. cum medio .a.e. interſe communicantes mini-
mum verò .a.o. probabo communicantem cum illis eſſe. Cogitemus ergo .c.f. æqua-
jem eſſe differentiæ .c.e. cognitæ, vnde habebimus proportionem, a.c. ad .c.f. vt .a.o.
ad .o.e. & componendo .a.f. ad .f.c. vt .a.e. ad .e.o. & quia (ex ſuppoſito). a.c. commu-
nicat cum .e.c. hoc eſt cum .c.f. quare
ex eadem .9. dicti decimi .a.f. et .f.c. erunt
138[Figure 138]
inter ſe communicantes, & per .10. a.e.
communicabit cum .o.e. & per .9. a.e. cò
municabit cum .a.o. vnde per .8. a.o. communicabit cum .a.c. ſimiliter.
mum verò .a.o. probabo communicantem cum illis eſſe. Cogitemus ergo .c.f. æqua-
jem eſſe differentiæ .c.e. cognitæ, vnde habebimus proportionem, a.c. ad .c.f. vt .a.o.
ad .o.e. & componendo .a.f. ad .f.c. vt .a.e. ad .e.o. & quia (ex ſuppoſito). a.c. commu-
nicat cum .e.c. hoc eſt cum .c.f. quare
ex eadem .9. dicti decimi .a.f. et .f.c. erunt
communicabit cum .o.e. & per .9. a.e. cò
municabit cum .a.o. vnde per .8. a.o. communicabit cum .a.c. ſimiliter.
THEOREMA CXXXIII.
SED ſi nobis duo extremi termini propoſiti fuerint, & medium inuenire deſide
remus in dicta proportionalitate, ita faciendum erit.
remus in dicta proportionalitate, ita faciendum erit.
Sint, exempli gratia, duo termini dati .q.b. et .b.r. minor .b.r. ex maiori .b.q. de-
trahatur, reſiduum verò .q.x. multiplicetur per .b.r. productum poſteà diuidatur per
q.r. vnde proueniet nobis .x.l. pro differentia minori, quæ addita cum .b.x. minimo
termino, dabit nobis .b.l. mcdium terminum harmonicum.
trahatur, reſiduum verò .q.x. multiplicetur per .b.r. productum poſteà diuidatur per
q.r. vnde proueniet nobis .x.l. pro differentia minori, quæ addita cum .b.x. minimo
termino, dabit nobis .b.l. mcdium terminum harmonicum.
Pro cuius ratione cogitemus dictum medium terminum .b.l. iam inuentum eſſe,
vnde ita erit proportio .q.l. ad .l.x. vt .q.b. ad .b.r. ex forma huius proportionalitatis,
quare coniunctim ita erit .q.r. ad .r.b. vt
q.x. ad .x.l. & proptereà ex .20. ſeptimi
139[Figure 139]
productum, quod fit ex .q.r. in .x.l. æqua-
le erit producto .q.x. in .b.r. Rectè igitur
fit cum diuiditur hoc productum per .q.r. vt proueniat nobis .x.l. differentia minor.
vnde ita erit proportio .q.l. ad .l.x. vt .q.b. ad .b.r. ex forma huius proportionalitatis,
quare coniunctim ita erit .q.r. ad .r.b. vt
q.x. ad .x.l. & proptereà ex .20. ſeptimi
le erit producto .q.x. in .b.r. Rectè igitur
fit cum diuiditur hoc productum per .q.r. vt proueniat nobis .x.l. differentia minor.
THEOREMA CXXXIIII.
POſſumus etiam harmonicè diuidere vnam datam proportionem abſque aliqua
diuiſione productorum, ne nobis fractiones proueniant, hoc modo videlicet.
Nobis propoſitum ſit diuidere harmonicè ſeſquialteram proportionem inuenian-
tur primo minimi termini huius proportionis ut putà .3. et .2. quarum ſumma, hoc
eſt quinque, multiplicetur per minorem ideſt .2. vnde proueniet nobis .10. qui qui-
dem erit minor terminus trium quæſitorum, quorum maximus erit productum ſum
diuiſione productorum, ne nobis fractiones proueniant, hoc modo videlicet.
Nobis propoſitum ſit diuidere harmonicè ſeſquialteram proportionem inuenian-
tur primo minimi termini huius proportionis ut putà .3. et .2. quarum ſumma, hoc
eſt quinque, multiplicetur per minorem ideſt .2. vnde proueniet nobis .10. qui qui-
dem erit minor terminus trium quæſitorum, quorum maximus erit productum ſum