10985
Si primùm;
cum ſit EH æqualis HT, eſſet etiam EH æqualis ST, vnde
eius fegmentum EB mins eſſet diſtantia ST. Si ſecundùm; cum ſit HT æ-
qualis HE omnino ST maior eſſet eadem HE, & eò maior ipſius ſegmento
BE. Si tertiùm; vt in hac ipſa figura, in qua centrum H interioris cadit inter
S, & G; cum ſit HE æqualis HT, & ablata HB maior ablata HS (nam eſt to-
ta SB ſecta bifariam in G) erit reliqua BE maior reliqua ST. Quapropter in
hoc caſu, in quo centrum H interioris cadit vltra centrum G exterioris, vbi-
cunq; ſit eius incidentia, demonſtratum eſt ſemper diſtantiam verticum B, E,
minorem eſſe ipſa ST diſtantia inter ſuperiora extrema tranſuerſorum late-
rum ET, BS. Quod memento.
eius fegmentum EB mins eſſet diſtantia ST. Si ſecundùm; cum ſit HT æ-
qualis HE omnino ST maior eſſet eadem HE, & eò maior ipſius ſegmento
BE. Si tertiùm; vt in hac ipſa figura, in qua centrum H interioris cadit inter
S, & G; cum ſit HE æqualis HT, & ablata HB maior ablata HS (nam eſt to-
ta SB ſecta bifariam in G) erit reliqua BE maior reliqua ST. Quapropter in
hoc caſu, in quo centrum H interioris cadit vltra centrum G exterioris, vbi-
cunq; ſit eius incidentia, demonſtratum eſt ſemper diſtantiam verticum B, E,
minorem eſſe ipſa ST diſtantia inter ſuperiora extrema tranſuerſorum late-
rum ET, BS. Quod memento.
Ampliùs ſint harum ſectionum recta latera BV, EX, &
regulæ TV, TX.
Patet ob ſectionum ſimilitudinem, vt SB ad BV, ita eſſe TE ad EX, ſed an-
guli ad B, E, ſunt æquales (cum ſectiones ſint ſimul adſcriptæ, & c.) quare
in triangulis SBV, TEX, anguli ad S, T, æquales erunt, ac ideò regulæ SV,
TX inter ſe æquidiſtabunt. Cumque ſit ST maior BE, ſi dematur SK ipſi BE
æqualis, ducaturque SY parallela ad EX, & abſcindatur EL æqualis SY, ac
iungantur KY, BL: erunt in triangulis KSY, BEL, in quibus latera circum
æquales angulos S, E, ſunt æqualia, vtrunque vtrique, anguli quoq; SKY,
EBL æquales; ſuntque alterni, quare KY, & BL inter ſe ęquidiſtant, ſed KY
ſecat TX, vnde & BL producta ſecabit TX, vt in N: Iam per N ordinatim
ductis æquidiſtans applicetur NQDP, regulam SV, ſecans in Z, communem
diametrum in Q, exteriorem ſectionem CBA in P, & interiorem in D: Cum
in triangulo BQN ſit EL ipſi QN parallela, erit BQ ad QN, vt BE ad EL,
& permutando QB ad BE, vt QN ad EL, ſiue ad SY, vel ZN, & per con-
uerſionem rationis BQ ad QE, vt NQ ad QZ, vnde rectangulum BQZ 11Coroll.
1. huius. quadratum applicatæ PQ æquale eſt rectangulo EQN, ſiue quadrato appli-
catæ DQ ex quo puncta P, D in vnum conueniunt, hoc eſt interior Hyper-
bole FED exteriori ABC occurrit in D; eademque ratione oſtendetur ipſas
ſimul occurrere in F, altero extremo eiuſdem applicatæ DQF, quare in ipſis
occurſibus ſe mutuò ſecant: quoniam ſi exempli gratia, huiuſmodi ſectiones
non ſe ſecarent, ſed contigerent in D, contingerent ſe quoque in F, vt fa-
cillimum eſt demonſtrare, ſed Hyperbole ED ſecat omnino rectam GI extra
ſectionem BA, vti ſuperius oſtendimus, quare hæc inter ſectio alio in loco
cadet quàm in D, pariterque ad alteram partem ſectio EF ſecabit BC in alio
puncto, præter in F: Quapropter coni-ſectio coni-ſectionem contingeret in
duobus punctis D, F, & in alijs duobus punctis ſibi ipſis occurrerent, quod
eſt impoſſibile: vnde in ipſis occurſibus D, F ſe mutuò ſecant; quod 2237. 4.
conic. abundanti oſtendere propoſuimus.
Patet ob ſectionum ſimilitudinem, vt SB ad BV, ita eſſe TE ad EX, ſed an-
guli ad B, E, ſunt æquales (cum ſectiones ſint ſimul adſcriptæ, & c.) quare
in triangulis SBV, TEX, anguli ad S, T, æquales erunt, ac ideò regulæ SV,
TX inter ſe æquidiſtabunt. Cumque ſit ST maior BE, ſi dematur SK ipſi BE
æqualis, ducaturque SY parallela ad EX, & abſcindatur EL æqualis SY, ac
iungantur KY, BL: erunt in triangulis KSY, BEL, in quibus latera circum
æquales angulos S, E, ſunt æqualia, vtrunque vtrique, anguli quoq; SKY,
EBL æquales; ſuntque alterni, quare KY, & BL inter ſe ęquidiſtant, ſed KY
ſecat TX, vnde & BL producta ſecabit TX, vt in N: Iam per N ordinatim
ductis æquidiſtans applicetur NQDP, regulam SV, ſecans in Z, communem
diametrum in Q, exteriorem ſectionem CBA in P, & interiorem in D: Cum
in triangulo BQN ſit EL ipſi QN parallela, erit BQ ad QN, vt BE ad EL,
& permutando QB ad BE, vt QN ad EL, ſiue ad SY, vel ZN, & per con-
uerſionem rationis BQ ad QE, vt NQ ad QZ, vnde rectangulum BQZ 11Coroll.
1. huius. quadratum applicatæ PQ æquale eſt rectangulo EQN, ſiue quadrato appli-
catæ DQ ex quo puncta P, D in vnum conueniunt, hoc eſt interior Hyper-
bole FED exteriori ABC occurrit in D; eademque ratione oſtendetur ipſas
ſimul occurrere in F, altero extremo eiuſdem applicatæ DQF, quare in ipſis
occurſibus ſe mutuò ſecant: quoniam ſi exempli gratia, huiuſmodi ſectiones
non ſe ſecarent, ſed contigerent in D, contingerent ſe quoque in F, vt fa-
cillimum eſt demonſtrare, ſed Hyperbole ED ſecat omnino rectam GI extra
ſectionem BA, vti ſuperius oſtendimus, quare hæc inter ſectio alio in loco
cadet quàm in D, pariterque ad alteram partem ſectio EF ſecabit BC in alio
puncto, præter in F: Quapropter coni-ſectio coni-ſectionem contingeret in
duobus punctis D, F, & in alijs duobus punctis ſibi ipſis occurrerent, quod
eſt impoſſibile: vnde in ipſis occurſibus D, F ſe mutuò ſecant; quod 2237. 4.
conic. abundanti oſtendere propoſuimus.
Si verò centrum H interioris idem fuerit cum G centro exterioris, etiam
aſymptotos GI eadem erit cum aſymptoto HM, cum angulus IGB æqualis,
vel idem ſit cum angulo MHE; Ergo ſimilium concentricarum 33Coroll.
40. huius. larum aſymptoti communes ſunt. Quod quartò erat, & c.
aſymptotos GI eadem erit cum aſymptoto HM, cum angulus IGB æqualis,
vel idem ſit cum angulo MHE; Ergo ſimilium concentricarum 33Coroll.
40. huius. larum aſymptoti communes ſunt. Quod quartò erat, & c.
Quod autem ſint ſimul nunquam coeuntes ſatis patet ex prima parte 47.
huius, vel quàm breuiſſimè ex propoſ. 208. ſeptimi Pappi. Quod quintò, & c.
huius, vel quàm breuiſſimè ex propoſ. 208. ſeptimi Pappi. Quod quintò, & c.
Si autem centrum H interioris DEF cadat infra G centrum exterioris
ABC, vt in ſecunda figura, per verticem E contingenter applicata CEA;
cum HM ſit intra angulum IGO ab aſymptotis factum, ac ipſi GI
ABC, vt in ſecunda figura, per verticem E contingenter applicata CEA;
cum HM ſit intra angulum IGO ab aſymptotis factum, ac ipſi GI