11090GNOMONICES
M L, ita rectangulum ſub C E, E A, ad rectangulum ſub C M, M A.
Sed ex eadem propoſ.
21.
lib. 1. Apollonij, ſi circa diametrum maiorem AC, & minorem H I, (Eſt enim A C, maior quàm
H I, cum A C, diameter circuli A F C G, ęqualis ſit diametro F G, eiuſdem circuli) ellipſis deſcri-
batur, & ex quouis puncto ipſi H E, parallela du-
72[Figure 72]
catur, hoc eſt, ordinatim applicata ad diametrũ
A C, quadratum ex H E, ad quadratum illius pa-
rallelæ eſt, vt rectangulum ſub C E, E A, ad re-
ctangulum ſub partibus diametri A C, quas pa-
rallela illa facit. Igitur punctum L, in illam El-
lipſim cadet, cuius maior diameter A C, & mi-
1110 nor HI; quandoquidem eſt, vt quadratum ex
H E, ad quadratum ex L M, ita rectangulum ſub
C E, E A, ad rectangulum ſub C M, M A; alias
pars foret ęqualis toti. Si enim illa Ellipſis non
tranſit per punctum L, tranſeat ſi fieri poteſt, per
N. Erit igitur per propoſ. 21. lib. 1. Apollonij,
vt rectangulum CE, E A, ad rectangulum ſub C M, M A, hoc eſt, vt quadratum ex H E, ad qua-
dratum ex L M, ita quadaatum ex H E, ad quadratum ex N M. Aequalia ſunt igitur quadrata ex
229. quinti. L M, & N M, atque adeò & rectę L M, N M, ęquales, totum & pars. Quod eſt abſurdum.
Tranſit ergo Ellipſis illa per punctum L, ac proinde punctum L, in Ellipſim cadit, cuius maior
3320 diameter A C, & minor HI. Eodem modo oſtendemus & alia puncta, in quæ à circunferentia
circuli. A B C D, perpendiculares cadunt, in eadem Ellipſi eſſe. Quocirca ſi à circunferentia cir-
culi maximi in ſphæra, & c. Quod erat demon ſtrandum.
lib. 1. Apollonij, ſi circa diametrum maiorem AC, & minorem H I, (Eſt enim A C, maior quàm
H I, cum A C, diameter circuli A F C G, ęqualis ſit diametro F G, eiuſdem circuli) ellipſis deſcri-
batur, & ex quouis puncto ipſi H E, parallela du-
A C, quadratum ex H E, ad quadratum illius pa-
rallelæ eſt, vt rectangulum ſub C E, E A, ad re-
ctangulum ſub partibus diametri A C, quas pa-
rallela illa facit. Igitur punctum L, in illam El-
lipſim cadet, cuius maior diameter A C, & mi-
1110 nor HI; quandoquidem eſt, vt quadratum ex
H E, ad quadratum ex L M, ita rectangulum ſub
C E, E A, ad rectangulum ſub C M, M A; alias
pars foret ęqualis toti. Si enim illa Ellipſis non
tranſit per punctum L, tranſeat ſi fieri poteſt, per
N. Erit igitur per propoſ. 21. lib. 1. Apollonij,
vt rectangulum CE, E A, ad rectangulum ſub C M, M A, hoc eſt, vt quadratum ex H E, ad qua-
dratum ex L M, ita quadaatum ex H E, ad quadratum ex N M. Aequalia ſunt igitur quadrata ex
229. quinti. L M, & N M, atque adeò & rectę L M, N M, ęquales, totum & pars. Quod eſt abſurdum.
Tranſit ergo Ellipſis illa per punctum L, ac proinde punctum L, in Ellipſim cadit, cuius maior
3320 diameter A C, & minor HI. Eodem modo oſtendemus & alia puncta, in quæ à circunferentia
circuli. A B C D, perpendiculares cadunt, in eadem Ellipſi eſſe. Quocirca ſi à circunferentia cir-
culi maximi in ſphæra, & c. Quod erat demon ſtrandum.
SCHOLIVM.
HOC theorema proponitur à Federico Commandino vniuer ſalius in libello de horologiorum deſcri-
ptione; adeo vt etiamſi planum, in quo circulus A F C G, non ſecet circulum inclinatum A B C D, per
centrum, vel nullo modo, & ſiue A B C D, ſit maximus circulus in ſphæra, ſiue quicunque, tamen per-
pendiculares ductæ à circunferentia circuli A B C D, ad planum A F C G, cadant in Ellipſim. Nam ſi
4430 planum, in quo circulus A F C G, non ſecet circulum A B C D, per centrum, vel nullo modo, ita propo-
ſitum colligit. Ducto alio plano ipſi A F C G, æquidiſtante, quod circulum A B C D, ſecet in centro E, ſi-
militer demonſtrabitur, vt prius, perpendiculares à circuli A B C D, circunferentia ad planum illud de-
miſſas in Ellipſim cadere: quæ quidem lineæ, cum vlterius productæ ad planum A F C G, quod illi æqui-
diſtat, eandem poſitionem habeant, cadent & eoloco in Ellipſim, cuius maior diameter æqualis erit dia-
metro A C, circuli A B C D, minor vero æqualis interuallo H I, perpendicularium B H, D I, quæ ab ex-
tremitatibus alteri{us} diametri B D, ducuntur.
ptione; adeo vt etiamſi planum, in quo circulus A F C G, non ſecet circulum inclinatum A B C D, per
centrum, vel nullo modo, & ſiue A B C D, ſit maximus circulus in ſphæra, ſiue quicunque, tamen per-
pendiculares ductæ à circunferentia circuli A B C D, ad planum A F C G, cadant in Ellipſim. Nam ſi
4430 planum, in quo circulus A F C G, non ſecet circulum A B C D, per centrum, vel nullo modo, ita propo-
ſitum colligit. Ducto alio plano ipſi A F C G, æquidiſtante, quod circulum A B C D, ſecet in centro E, ſi-
militer demonſtrabitur, vt prius, perpendiculares à circuli A B C D, circunferentia ad planum illud de-
miſſas in Ellipſim cadere: quæ quidem lineæ, cum vlterius productæ ad planum A F C G, quod illi æqui-
diſtat, eandem poſitionem habeant, cadent & eoloco in Ellipſim, cuius maior diameter æqualis erit dia-
metro A C, circuli A B C D, minor vero æqualis interuallo H I, perpendicularium B H, D I, quæ ab ex-
tremitatibus alteri{us} diametri B D, ducuntur.
NOS autem propoſuimus theorema de circulis maximis in ſphæra duntaxat, quia in his ſolis appare
bit eius vſus in noſtra hac Gnomonica.
5540bit eius vſus in noſtra hac Gnomonica.
PROBLEMA 4. PROPOSITIO 25.
IN circunferentia circuli maximi in ſphęra ad alium circulum ma-
ximum inclinati ſumptis duobus punctis extremis diametri commu-
nem eorum ſectionem ad rectos angulos ſecantis, quo loco perpendi-
culares ab his ductæ ad alium circulum cadant, ſi nota fuerit inclina-
tio, inueſtigare.
6650ximum inclinati ſumptis duobus punctis extremis diametri commu-
nem eorum ſectionem ad rectos angulos ſecantis, quo loco perpendi-
culares ab his ductæ ad alium circulum cadant, ſi nota fuerit inclina-
tio, inueſtigare.
SIT in ſphęra circulus maximus A B C D, ad circulum maximum A F C E, inclinatus, ſitq́;
eorum ſectio communis diameter A C, ad quam in plano circuli A B C D, per centrum G, alia
diameter ducatur perpendicularis B D. Oportet igitur inueſtigare, quo loco perpendiculares à
punctis D, B, in planum circuli A F C E, demiſſę cadant. In plano circuli A F C E, ducatur alia
77Inuentio pun-
ctorum, in quæ
cadunt perpen-
diculares ab ex-
tremitatibus,
diametri circu-
li ad alium cir-
culum inclina-
ti. diameter E F, ad A C, perpendicularis, ſitq́; angulus inclinationis, quę nota ponitur E G H, ita vt
arcus E H, æqualis ſitarcui inclinationis circuli A B C D, ad circulum A F C E; & ab H, ducatur
HI, ad EF, perpendicularis. Dico perpendicularem à D, ad planum circuli A F C E, demiſſam
cadere in punctum I. Ducto enim per E G, D G, plano faciente in ſphæra ſemicirculum E D F, ex
propoſ. 1. lib. 1. Theodoſii, erit hicad circulos A F C E, A B C D, rectus. (Nam cum C G, per-
pendicularis ſit ad E G, D G, erit eadem quoque ad planum per E G, D G, ductum, id eſt, ad ſe-
884. vndec. micirculum E D F, recta, atque adeo & plana circulorum A F C E, A B C D, per C G, ducta
eorum ſectio communis diameter A C, ad quam in plano circuli A B C D, per centrum G, alia
diameter ducatur perpendicularis B D. Oportet igitur inueſtigare, quo loco perpendiculares à
punctis D, B, in planum circuli A F C E, demiſſę cadant. In plano circuli A F C E, ducatur alia
77Inuentio pun-
ctorum, in quæ
cadunt perpen-
diculares ab ex-
tremitatibus,
diametri circu-
li ad alium cir-
culum inclina-
ti. diameter E F, ad A C, perpendicularis, ſitq́; angulus inclinationis, quę nota ponitur E G H, ita vt
arcus E H, æqualis ſitarcui inclinationis circuli A B C D, ad circulum A F C E; & ab H, ducatur
HI, ad EF, perpendicularis. Dico perpendicularem à D, ad planum circuli A F C E, demiſſam
cadere in punctum I. Ducto enim per E G, D G, plano faciente in ſphæra ſemicirculum E D F, ex
propoſ. 1. lib. 1. Theodoſii, erit hicad circulos A F C E, A B C D, rectus. (Nam cum C G, per-
pendicularis ſit ad E G, D G, erit eadem quoque ad planum per E G, D G, ductum, id eſt, ad ſe-
884. vndec. micirculum E D F, recta, atque adeo & plana circulorum A F C E, A B C D, per C G, ducta