11191LIBER PRIMVS.cundem ſemicirculũ E D F, recta erunt, atque idcirco &
viciſſim hic ſemicirculus ad illa plana re-
ctus erit.) Quare D E, arcus erit inclinationis circuli A B C D, ad circulum A F C E, proptereaq́;
arcui E H, æqualis: cadetq́ue perpendicularis ex
73[Figure 73]
D, ad planum A F C E, demiſſa in E F, communem
1138. vndec. ſectionem planorum A F C E, E D F; quam dico
in I, cadere. Si enim alio cadat, vt in k, erunt duo
anguli H I G, I G H, trianguli G H I, duobus an-
gulis D K G, K G D, trianguli G D K, ęquales;
(Nam I G H, K G D, ęquales ſunt, ob æqualitatem
2227. tertij. arcuum E H, E D, & H I G, D K G, recti ſunt, ex
3310 conſtructione, & definitione 3. lib. 11. Euclidis)
ſuntautem & latera G H, G D, ducta à centro ſphę-
rę ad eius ſuperficiem, ęquales. Igitur & latera G I,
4426. primi. G K, æqualia erunt, pars, & totum. Quod eſt abſur-
dum. Non ergo perpendicularis à puncto D, de-
miſſa ad planum A F C E, alio cadit, quàm in I. Eo-
dem modo reperiemus punctum, in quod cadit
perpendicularis ex B, demiſſa. Cadet autem ſem-
per in punctum, puta M, quod tantum à centro
G, abeſt, quantum I, ab eodem diſtat. Quoniam enim in triangulis D G I, B G M, anguli ad I, M,
5520 ex defin. 3. lib. 11. Eucl. recti ſunt, anguliq́; ad verticem G, æquales; Item & latera D G, B G, æqua
6615. primi. lia, cum ſint ſpheræ ſemidiametri; erunt & latera G I, G M, inter ſe ęqualia. In circunferentia igi-
7726. primi. tur circuli maximi in ſphæra, & c. Quod faciendum erat.
ctus erit.) Quare D E, arcus erit inclinationis circuli A B C D, ad circulum A F C E, proptereaq́;
arcui E H, æqualis: cadetq́ue perpendicularis ex
1138. vndec. ſectionem planorum A F C E, E D F; quam dico
in I, cadere. Si enim alio cadat, vt in k, erunt duo
anguli H I G, I G H, trianguli G H I, duobus an-
gulis D K G, K G D, trianguli G D K, ęquales;
(Nam I G H, K G D, ęquales ſunt, ob æqualitatem
2227. tertij. arcuum E H, E D, & H I G, D K G, recti ſunt, ex
3310 conſtructione, & definitione 3. lib. 11. Euclidis)
ſuntautem & latera G H, G D, ducta à centro ſphę-
rę ad eius ſuperficiem, ęquales. Igitur & latera G I,
4426. primi. G K, æqualia erunt, pars, & totum. Quod eſt abſur-
dum. Non ergo perpendicularis à puncto D, de-
miſſa ad planum A F C E, alio cadit, quàm in I. Eo-
dem modo reperiemus punctum, in quod cadit
perpendicularis ex B, demiſſa. Cadet autem ſem-
per in punctum, puta M, quod tantum à centro
G, abeſt, quantum I, ab eodem diſtat. Quoniam enim in triangulis D G I, B G M, anguli ad I, M,
5520 ex defin. 3. lib. 11. Eucl. recti ſunt, anguliq́; ad verticem G, æquales; Item & latera D G, B G, æqua
6615. primi. lia, cum ſint ſpheræ ſemidiametri; erunt & latera G I, G M, inter ſe ęqualia. In circunferentia igi-
7726. primi. tur circuli maximi in ſphæra, & c. Quod faciendum erat.
COROLLARIVM.
EX his eadem via inueniemus diametrum minorem ellipſis illius, in quam perpendiculares à circun-
88Inuentio min@
tis diametri El-
lipſis, quæ fit à
perpendiculari-
bus cadenubus
à circunferẽria
circuli inclinati
ad alium circu-
lum. ferentia circuli inclinati in alium circulum demiſſæ cadunt. Nam recta I M, inter puncta I, M, in quæ
dictæ perpendiculares cadunt, minor diameter eſt, per antecedentem propoſitionem.
993088Inuentio min@
tis diametri El-
lipſis, quæ fit à
perpendiculari-
bus cadenubus
à circunferẽria
circuli inclinati
ad alium circu-
lum. ferentia circuli inclinati in alium circulum demiſſæ cadunt. Nam recta I M, inter puncta I, M, in quæ
dictæ perpendiculares cadunt, minor diameter eſt, per antecedentem propoſitionem.
IN circunferentia circuli maximi in ſphæra ad alium circulum ma-
ximum inclinati ſumptis quibuslibet punctis, quo loco perpendicula-
res ab his ductæ in alium circulum cadant, ſi inclinatio fuerit nota,
inquirere.
ximum inclinati ſumptis quibuslibet punctis, quo loco perpendicula-
res ab his ductæ in alium circulum cadant, ſi inclinatio fuerit nota,
inquirere.
SIT in ſphæra circulus maximus A B C D, ad maximum D E B F, inclinatus, &
nota inclina-
tio, ſitq́; eorum fectio communis diameter D B, per centrum G, tranſiens, ad quam ad angulos
101040 rectos ducatur in circulo quidem A B C D, diame-
74[Figure 74]
rer A C, in circulo verò D E B F, diameter E F, in
quam cadent perpendiculares ex A, C, in circulum
D E B F, demiſſæ, vt in propoſitione præcedenti eſt
oſtenſum. Cadant ergo in H, I, vt ſit D B, diame-
ter maior, & H I, minor eius Ellipſis, quam perpen
diculares à circunferentia circuli A B C D, in pla-
num circuli D E B F, demiſſę faciunt, vt demonſtra
tum eſt. Sumatur autem quodcunque punctum K,
in circunferentia A B C D. Oportet igitur inquire-
111150 re, quo loco perpendicularis à K, in planum D E-
B F, deducta cadat. Sumatur arcui A K, æqualis ar-
cus E L, & ducatur recta G L, quæ circulum H I,
circa minorem Ellipſis diametrum H I, deſcriptũ
1212Inuenti@ pun-
ctorum, in quæ
cadunt perpen-
diculares à quo
cunque puncto
circuli inclinati
ad alium circu-
lum. ſecet in M. Deinde per L, ducatur L N, parallela
minori diametro H I, quæ ſecet D B, in O; & per
M, ducatur P M, parallela maiori Ellipſis diame-
tro D B, ſecans L N, in Q. Dico perpendicularem à K, in planum D E B F, demiſſam cadere in
punctum Q. Quòd enim cadat in lineam L N, ita oſtendetur. Ducta recta K O, erit hæc ipſi
A G, parallela. Ductis enim L S, k T, ad E G, A G, perpendicularibus, cum G O, æqualis ſit ipſi
131334. primi. L S, ſinui recto arcus E L; ſit autem L S, ſinus æqualis ipſi k T, ſinui recto arcus A K, qui
tio, ſitq́; eorum fectio communis diameter D B, per centrum G, tranſiens, ad quam ad angulos
101040 rectos ducatur in circulo quidem A B C D, diame-
quam cadent perpendiculares ex A, C, in circulum
D E B F, demiſſæ, vt in propoſitione præcedenti eſt
oſtenſum. Cadant ergo in H, I, vt ſit D B, diame-
ter maior, & H I, minor eius Ellipſis, quam perpen
diculares à circunferentia circuli A B C D, in pla-
num circuli D E B F, demiſſę faciunt, vt demonſtra
tum eſt. Sumatur autem quodcunque punctum K,
in circunferentia A B C D. Oportet igitur inquire-
111150 re, quo loco perpendicularis à K, in planum D E-
B F, deducta cadat. Sumatur arcui A K, æqualis ar-
cus E L, & ducatur recta G L, quæ circulum H I,
circa minorem Ellipſis diametrum H I, deſcriptũ
1212Inuenti@ pun-
ctorum, in quæ
cadunt perpen-
diculares à quo
cunque puncto
circuli inclinati
ad alium circu-
lum. ſecet in M. Deinde per L, ducatur L N, parallela
minori diametro H I, quæ ſecet D B, in O; & per
M, ducatur P M, parallela maiori Ellipſis diame-
tro D B, ſecans L N, in Q. Dico perpendicularem à K, in planum D E B F, demiſſam cadere in
punctum Q. Quòd enim cadat in lineam L N, ita oſtendetur. Ducta recta K O, erit hæc ipſi
A G, parallela. Ductis enim L S, k T, ad E G, A G, perpendicularibus, cum G O, æqualis ſit ipſi
131334. primi. L S, ſinui recto arcus E L; ſit autem L S, ſinus æqualis ipſi k T, ſinui recto arcus A K, qui