11375DE MATHÉMATIQUE. Liv. I.
je prends d’abord tous les quarrés poſitifs des termes qui com-
poſent cette quantité, & j’ai pour une premiere partie du
quarré que je cherche a2 + b2 + c2 + d2 + f2 + g2: je prends
enſuite le double du premier terme a, qui eſt 2a, que je com-
bine par multiplication avec tous les ſuivans, & j’ai pour une
ſeconde partie du quarré que je cherche 2ab - 2ac + 2ad -
2af + 2ag, en donnant le ſigne + aux termes qui ont le même
ſigne + que 2a, & le ſigne à ceux qui ont le ſigne -. Je
prends pareillement le double de b, qui eſt 2b, & le combi-
nant, ainſi que j’ai fait pour a, avec ceux qui le ſuivent, j’ai
- 2bc + 2bd - 2bf + 2bg pour la troiſieme partie du quarré
que je cherche. Je prends encore le double de - c, qui eſt - 2c,
& j’ai - 2cd + 2cf - 2cg, en mettant + aux termes qui ont
le ſigne -, & - à ceux qui ont le ſigne +. Je trouve de
même, en prenant le double du quatrieme terme d, qui eſt 2d,
- 2df + 2dg; & enfin prenant le double de - f, qui eſt
- 2f, je trouve - 2fg pour la derniere partie du quarré que
je cherche. Ajoutant toutes ces parties, j’ai pour le quarré de-
mandé a2 + b2 + c2 + d2 + f2 + g2 + 2ab - 2ac + 2ad
- 2af + 2ag - 2bc + 2bd - 2bf + 2bg - 2cd + 2cf - 2cg
- 2df + 2dg - 2fg. La preuve de cette pratique ſe fera en
multipliant cette quantité par elle-même, & l’on trouvera les
mêmes quantités, quoique dans un ordre différent. Mais la
valeur du quarré ne dépend pas de l’ordre dans lequel les
termes ſont diſpoſés: il ſera toujours le même, pourvu qu’il
y ait autant de termes qu’il doit y en avoir, & que chacun
d’eux ait le ſigne qu’il doit avoir. On pourroit encore ſe ſervir
du même abrégé, ſi les termes avoient des coefficiens diffé-
rens de l’unité. Par exemple, le quarré de 3a - 2b + 4c ſe
trouvera en ſuivant cette méthode, 9a2 + 4b2 + 16c2 - 12ab
+ 24ac - 16bc.
poſent cette quantité, & j’ai pour une premiere partie du
quarré que je cherche a2 + b2 + c2 + d2 + f2 + g2: je prends
enſuite le double du premier terme a, qui eſt 2a, que je com-
bine par multiplication avec tous les ſuivans, & j’ai pour une
ſeconde partie du quarré que je cherche 2ab - 2ac + 2ad -
2af + 2ag, en donnant le ſigne + aux termes qui ont le même
ſigne + que 2a, & le ſigne à ceux qui ont le ſigne -. Je
prends pareillement le double de b, qui eſt 2b, & le combi-
nant, ainſi que j’ai fait pour a, avec ceux qui le ſuivent, j’ai
- 2bc + 2bd - 2bf + 2bg pour la troiſieme partie du quarré
que je cherche. Je prends encore le double de - c, qui eſt - 2c,
& j’ai - 2cd + 2cf - 2cg, en mettant + aux termes qui ont
le ſigne -, & - à ceux qui ont le ſigne +. Je trouve de
même, en prenant le double du quatrieme terme d, qui eſt 2d,
- 2df + 2dg; & enfin prenant le double de - f, qui eſt
- 2f, je trouve - 2fg pour la derniere partie du quarré que
je cherche. Ajoutant toutes ces parties, j’ai pour le quarré de-
mandé a2 + b2 + c2 + d2 + f2 + g2 + 2ab - 2ac + 2ad
- 2af + 2ag - 2bc + 2bd - 2bf + 2bg - 2cd + 2cf - 2cg
- 2df + 2dg - 2fg. La preuve de cette pratique ſe fera en
multipliant cette quantité par elle-même, & l’on trouvera les
mêmes quantités, quoique dans un ordre différent. Mais la
valeur du quarré ne dépend pas de l’ordre dans lequel les
termes ſont diſpoſés: il ſera toujours le même, pourvu qu’il
y ait autant de termes qu’il doit y en avoir, & que chacun
d’eux ait le ſigne qu’il doit avoir. On pourroit encore ſe ſervir
du même abrégé, ſi les termes avoient des coefficiens diffé-
rens de l’unité. Par exemple, le quarré de 3a - 2b + 4c ſe
trouvera en ſuivant cette méthode, 9a2 + 4b2 + 16c2 - 12ab
+ 24ac - 16bc.