1nea OX. dicti autem trapezii centrum gauitatis est etiam in li
nea EF, quare trapezii ABCD centrum grauitatis est punctum
P. At verò triangulum BCD ad ABD proportionem habet eam,
OP ad PX. cùm ſint puncta OX triangulorum centla graui
tatis, ac punctum P vtrorum〈que〉 commune centrum. Sed vt
triangulum BDC adtriangulum ABD, ita eſt quo〈que〉 baſis BC
ad baſim AD. cùm triangula eandem habeant altitudinem,
ſiquidem ſunt in ijsdem parallelis AD BC. quare vt BC ad
AD, ita OP ad PX. Sed quoniam anguli RPO SPX ver
ticem ſunt ęquales, & angulus PRO ipſi PSX, veluti
ROP angulo PXS eſt ęqualis, erit triangulum OPR triangu
lo XPS ſimile; quare vt OP ad PX, ſic PR ad PS. eſt
BC ad AD, vt OP ad PX; vt igitur BC ad AD, ita RP ad PS.
& antecedentium dupla, duæ ſcilicet BC ad AD, vt duæ PR
ad PS. & componendo duæ BC cum AD ad AD; vt
PR cum PS ad PS. & ad conſe〈que〉ntium dupla, vt ſcilicet
duæ BC cum AD ad duas AD, ita duæ PR cum PS ad duas
PS. dictum eſt autem BC ad AD ita eſſe, vt PR ad PS. quare
conuerrendo AD ad BC erit, vt PS ad PR. &
dupla. hoc eſt duæ AD ad BC, vt duæ PS ad PR. Ita〈que〉 in
eadem ſunt proportione duç BC cum AD ad duas AD, vt
duę PR cum PS ad duas PS. ſicut verò duę AD ad BC, ita duę
PS ad PR. antecedentes igitur ad ſuas ſimul conſe〈que〉ntes
eadem erunt proportione. Quare ſicut duæ BC cum AD ad duas
AD cum BC, ita duæ RP cum PS ad duas P S cum PR,
verùm duæ quidem RP cum PS eſt vtra〈que〉 ſimul SR RP. bis
enim aſſumitur PR, ſemel verò PS. Cum autem lineæ DH ES
à lineis diuidantur ęquidiſtantibus ED OT HM, erit DK
KH, vt ER ad CS; kD verò eſt æqualis KH, erit ER ipſi
RS ęqualis. erit igitur ER cum RP, hoc est PE ipſis SR RP
ęqualis. duæ verò PS cum PR eſt vtra〈que〉 PS SR. bis enim aſ
ſumitur PS, ſemel què PR. & quoniam FS eſt ęqualis ipſi SR.
quod quidem eodem modo oſtendetur, cùm ſit FS ad SR, vt
BH ad Hk. erit FS cum SP, hoc est PF ipſis PS SR æqualis.
Quare ita ſehabet PE ad PF, vt duæ BC cum AD ad duas
AD cum BC. Centrum igitur grauitatis P trapezij ABCD
in linea eſt EF, quæ coniungit parallelas AD BC bifariam di
nea EF, quare trapezii ABCD centrum grauitatis est punctum
P. At verò triangulum BCD ad ABD proportionem habet eam,
OP ad PX. cùm ſint puncta OX triangulorum centla graui
tatis, ac punctum P vtrorum〈que〉 commune centrum. Sed vt
triangulum BDC adtriangulum ABD, ita eſt quo〈que〉 baſis BC
ad baſim AD. cùm triangula eandem habeant altitudinem,
ſiquidem ſunt in ijsdem parallelis AD BC. quare vt BC ad
AD, ita OP ad PX. Sed quoniam anguli RPO SPX ver
ticem ſunt ęquales, & angulus PRO ipſi PSX, veluti
ROP angulo PXS eſt ęqualis, erit triangulum OPR triangu
lo XPS ſimile; quare vt OP ad PX, ſic PR ad PS. eſt
BC ad AD, vt OP ad PX; vt igitur BC ad AD, ita RP ad PS.
& antecedentium dupla, duæ ſcilicet BC ad AD, vt duæ PR
ad PS. & componendo duæ BC cum AD ad AD; vt
PR cum PS ad PS. & ad conſe〈que〉ntium dupla, vt ſcilicet
duæ BC cum AD ad duas AD, ita duæ PR cum PS ad duas
PS. dictum eſt autem BC ad AD ita eſſe, vt PR ad PS. quare
conuerrendo AD ad BC erit, vt PS ad PR. &
dupla. hoc eſt duæ AD ad BC, vt duæ PS ad PR. Ita〈que〉 in
eadem ſunt proportione duç BC cum AD ad duas AD, vt
duę PR cum PS ad duas PS. ſicut verò duę AD ad BC, ita duę
PS ad PR. antecedentes igitur ad ſuas ſimul conſe〈que〉ntes
eadem erunt proportione. Quare ſicut duæ BC cum AD ad duas
AD cum BC, ita duæ RP cum PS ad duas P S cum PR,
verùm duæ quidem RP cum PS eſt vtra〈que〉 ſimul SR RP. bis
enim aſſumitur PR, ſemel verò PS. Cum autem lineæ DH ES
à lineis diuidantur ęquidiſtantibus ED OT HM, erit DK
KH, vt ER ad CS; kD verò eſt æqualis KH, erit ER ipſi
RS ęqualis. erit igitur ER cum RP, hoc est PE ipſis SR RP
ęqualis. duæ verò PS cum PR eſt vtra〈que〉 PS SR. bis enim aſ
ſumitur PS, ſemel què PR. & quoniam FS eſt ęqualis ipſi SR.
quod quidem eodem modo oſtendetur, cùm ſit FS ad SR, vt
BH ad Hk. erit FS cum SP, hoc est PF ipſis PS SR æqualis.
Quare ita ſehabet PE ad PF, vt duæ BC cum AD ad duas
AD cum BC. Centrum igitur grauitatis P trapezij ABCD
in linea eſt EF, quæ coniungit parallelas AD BC bifariam di