Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio octava. </p>
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      ditti cerchi. E cosí opera sempre.
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      Possiamo ancora in un cerchio collocare .6. cerchi, imperoché, commo dice Eucli-
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      de nela .15a. del quarto, infra ’l proposto cerchio, cioé dentro al proposto cerchio,
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      uno exagono equilatero e equiangolo collocare. E per questo è manifesto che il la-
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      to del exagono è il .1/2. diametro del cerchio al quale lo exagono si scrive. E peró pos-
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      siamo in uno cerchio fare .6. triangoli iguali e, in ciascuno triangolo, possiamo scriverne uno,
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      cioé mettervi uno circulo. E cosí adonca, in ciascuno cerchio, possiamo scrivere .6. cerchi senza
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      tropo fatica.. E, perché quelli cerchi sonno insiemi contingenti, fanno, menate le linee da’ centri loro,
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      uno exagono. Onde, nel mezzo di loro, rimane uno spacio che vi si pó collocare un altro cer-
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      chio iguale a uno di quelli .6. cerchi. Onde sia l’ exagono .a.b.c.d.e.f. e dal’ angolo di ciascuno lato
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      infino al centro si meni le linee che con lati delo exagono faranno .6. triangoli iguali e equilate-
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      ri, che sonno congionti nel ponto .o. e i loro lati sonno igual commo manifesta Euclides.
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      Onde ancora negli angoli di questo exagono si ponga il pie’ dele sexte inmobile e l’ altro pie’
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      si extenda infino ala mitá delo lato di quello exagono per ciascuna parte e risultane uno
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      cerchio del quale il diametro è iguale alo lato del exagono. E, cosí facendo in ciascuno an-
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      golo del ditto exagono e a questo modo, haremo .6. cerchi iguali descritti nel cerchio del qua-
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      le è il centro .o. centro del exagono. Adonca la linea .xo. é una volta e .1/2. il lato delo exagono,
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      cioé una volta .1/2. il diametro d’ uno de’ cerculi piccoli. E peró dala circunferentia d’ uno di quel-
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      li cerchi infino al centro .o. rimane uno spacio nel quale spacio, computando tutti e .6. e detti
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      cerculi, si constituirá un altro cerculo iguale a ciascuno de’ .6. cerculi. E peró si pó costituire
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      .7. cerchi e ’l diametro di ciascuno di questi .7. cerchi è la terza parte del diametro del gran cerchio
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      che contiene e detti cerchi. E peró, quando il diametro .xt. fosse .30., il diametro de ciascuno di cer-
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      chi piccoli sarebbe .10., commo si manifesta per la linea .xt., diametro che passa per gli centri
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      del ditto cerchio. </p>
      <p class="main"> E, volendo mettere uno ottagono in uno cerchio del quale il diametro fosse .2. bra-
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      cia. Commo sia il cerchio .agbd. del quale il diametro .ab. sia .2. Adimando quan-
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      to sia il lato del ottagono .ac. Dico prima doversi trovare il lato del quadrato che
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      si pó fare in ditto circulo. Dove multiplicherai il diametro del cerchio in sé, fanno
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      .4., del quale la mitá è .2., e radici di .2. sia il quadrato per facia, cioé il quadrato .hcef. E, questo
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      fatto, e tu dividi la linea, cioé lo lato del quadrato qual voi, per .2. parti iguali, commo sia il la-
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      to .hc. diviso in .2. parti iguali nel ponto .k. E faciasi la linea .ka., menata infino in nel ponto .i.
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      E sia semidiametro del cerchio, la quale linea .ai. sia uno bracio. Adonca .ka. sia uno bracio
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      meno radici di .1/2., imperoché .ki. è radici di .1/2. bracio, imperoch’ é la mitá dela facia del qua-
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      drato. Adonca sapiamo che .ak. è uno bracio meno radici de .1/2. e .kc. è radice di .1/2. Onde, a vo-
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      lere la linea .ac., che è la facia delo ottagono, multiplicarai .ak. in sé e .kc. in sé e haremo, per la
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      loro agiontione, il quadrato .ac. Imperoché l’ angolo fatto dala linea .ai. in sul ponto .k. ala
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      facia del quadrato .hc. qual voi è retto, imperoché lo lato .hc. è diviso in .2. parti iguali. E la
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      linea .ai. passa al centro. Onde multiplicarai uno meno radici di .1/2. in sé, fanno .1 1/2. meno radi-
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      ci di .2. E dapoi multiplicarai .kc. in sé, cioé radici di .1/2. in sé, fanno .1/2., agiongni a .1 1/2. men radici di .2.
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      fanno .2. meno radici di .2. per lo lato .ac., lato del ottagono constituto e fatto nel cerchio il
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      cui diametro è </p>
      <p class="main"> E, volendo sapere quante bracia é quadro il ditto ottagono, di molte vie e modi, pi-
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      glia questo el quale da Lionardo P. è mostro: cioé di multiplicare el diametro del
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      cerchio per la facia del quadrato. Commo in questo passato caso multiplicarai
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      il diametro, che è .2.bracia., via la facia del quadrato, che è radici di .2.bracia., fanno radici
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      di .8. e la radici de .8. è quadro il ditto ottagono. E, acioché chiaro appaia in questo caso passato, di-
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      remo si voglia recare a bracia quadre l’ ottagono preditto, el quale è diviso in uno quadrato ret-
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      tangulo in .8. triangoli ortogonij. Del quadrato se ha l’ area multiplcando lo lato in sé, cioé mul-
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      tiplicando radici de .2. in radici di .2., che fanno .2. e .2.bracia. é quadro el quadrato. E dapoi qua-
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      dra ciascuno de’ ditti triangoli, de’ quali l’ area loro s’ á del multiplicare la saetta nela mitá dela
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      mitá dela facia del quadrato. E la saetta è, secondo che habiamo trovato, uno men radici di
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      .1/2. e la facia è radici di .2., cioé la facia delo quadrato è la mitá dela mitá, cioé il .1/4., dela ditta fa-
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      cia, è radici di .1/8. Adonca habiamo a multiplicare uno men radici di .1/2. via radici di .1/8., fanno
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      radici .1/8. meno .1/4. E tanto è uno de’ ditti triangoli. Dove .8. fienno .8. via radici di .1/8. meno .1/4.,
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      fanno radici del .8. men .2. E questa è l’ area degli .8. triangoli, e quali, agionti a .2., che è l’ area
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      del quadrato, fanno radici del .8. E radici di .8. é quadro el ditto ottagono commo volavamo
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