Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio </p>
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      Ancora secondo la dimostratione. Comme vedi, il ditto ottagono è diviso in uno quadra-
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      to e .8. triangoli ortogonij e l’ area del quadrato s’ á del multiplicare una dele facie in sé, cioé
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      diciamo del multiplicare .hf. in sé. E tu sai certo .ku. essere iguali al .hf. Adonca l’ area del dit-
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      to quadrato s’ á del multiplicare .hf. in .ku., cioé del .hc. in .ku. E l’ area de’ ditti triangoli s’ anno
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      del multiplicare .ak., cioé dela saetta, nella mitá dela mitá dela facia del quadrato, cioé il trian-
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      golo .akh. si quadra del multiplicare .ak. nela mitá del .hk. e il triangolo .akc. si quadra
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      del multiplicare .ak. nela mitá del .kc. e il .kc. é quanto .kh. Adonca e .2. triangoli ditti si
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      quadrano del multiplicare .ak. in .hk. E similmente e .2. triangoli .cdm. e .emd. si quadrano
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      del multiplcare .md. nela mitá dela facia .ce. e la mitá dela facia .ce. é quanto .kc. Adonca,
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      a quadrare il ditto quadro e gli .4. preditti triangoli, si multiplica .au. nela facia .hc., cioé facia
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      del quadrato, e gli altri .4. triangoli nel medesimo modo s’ ánno del multiplicare la loro saet-
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      ta nela mitá dela mitá dela facia e la loro saetta è iguale al .ub. Adonca l’ area loro s’ á de mul-
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      tiplicare .ub. nel .fe., cioé .ub. nel .hc. E peró, adonca l’ area de tutto l’ ottagono s’ á de multipl-
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      care il diametro .ab. nela facia del quadrato, la qual cosa era da mostrare. 58
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      Ancora proporró: e gli é uno ottagono la cui facia è .6.bracia. Adimando quanto è
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      il diametro del tondo dove tale ottagono s’ iscrive. Dico che di molti modi que-
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      sto mi pare il migliore. Commo diciamo e gli é uno ottagono .abcdefgh, del qua-
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      le il lato suo è .6.bracia. Adimandase quanto è il diametro .ae. Dico che in questo
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      modo facia, che dirai: ditto é che, quando il diametro è .2.bracia., che l’ ottagono è per facia la
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      radici di .2.bracia. meno la radici di .2. E noi diciamo che l’ ottagono è .6.bracia. Dove, con pro-
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      portione, andremo inperoché ciascuna figura constituta nel cerchio, di simile sito, è proportiona-
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      le e simile. Como se in .2. cerchi in ciascuno si fa uno triangolo di simile sito, cioé .2. lati iguali e l’ an-
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      golo del’ uno sia iguale al’ angolo del’ altro, over sienno .2. quadrati, over qual figura voi, infra
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      loro sonno simili e proportionali. Adonca dirai: se .2.bracia. fanno la .R. di .1. e meno radici
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      di .2., che fu quello che feci .6.bracia. Multiplicarai .6. via .2.bracia., fanno .12.bracia., e quali parti
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      in radici di questo, cioé in radici di .2. tratto di .2. e di quel preso la radici. Dove arrecarai cia-
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      scuna parte a quadrato multiplicando .12. in sé, fanno .144. e multiplica preso la radici di .2. e
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      tratta di .2. e di quel preso la radici in sé, fanno .2. meno la radici di .2. Onde partirai .144. in
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      .2. meno radici di .2., dove multiplicarai .2. meno radici di .2. per lo suo binomio, cioé per .2. e
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      radici di .2., fanno .2. e questo è il partitore. Dapoi multiplica .144. via .2. e radici di .2., fanno
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      .288. e radici di .41472., e quali parti in .2., vienne .144. e radici di .10368. E questo è il quadra-
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      to del diametro. Adonca il diametro del ditto tondo è la radici di questo, cioé di .144. e radici di .10368., cioé preso la
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      radici di
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      .10368. e posta sopra .144. e di quel preso la radici. </p>
      <p class="main"> E gli é un exagono .abgdez. el quale voglio quadrare. Dico che meni la linea .ag.,
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      la quale linea è la facia del triangolo che cade nel cerchio dove si constituisse
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      tale exagono, la quale si seghi in .2. parti iguali dal diametro .bc., sopra il ponto
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      .k. Sará il triangolo .iab. la sexta parte delo exagono .abgdez. e la corda .ag. é
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      il lato del triangolo equilatero cadente nel cerchio agd. Conciosiacosaché l’ arco .ag. sia la
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      terza parte dela circunferentia del circulo e dividasi .kg. in doi parti iguali sopra il ponto
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      .l. sia .ak. doppio al .kl. Multiplicato .ak. in .bi., fanno el doppio del’ area del triangolo .abi.
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      Ma il diametro .be. è .2. cotanti del .bi. Onde, multiplicato .ak. in .be., fanno .4. cotanti de-
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      l’ area del triangolo .abi. e il .kl. é il quarto del .ag. Adonca sia la mitá del .ak. E peró, mul-
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      tiplicato .kl. nelo diametro .be., fará .2. cotanti del’ area del triangolo .abi. Onde, multiplica-
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      to .al. nel .be., fará .6. cotanti del’ area del triangolo .abi. E .6. cotanti del’ area del triangolo .abi.
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      e .6. cotanti del’ area del triangolo .abi. é quanto l’ area del’ exagono .abgdez. Adonca si con-
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      chiude che, a multiplicare il diametro per gli .3/4. dela corda del’ angolo exagono, cioé per gli
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      .3/4. dela facia del triangolo, over del multiplicare tutta la corda ditta negli .3/4. del diametro. E
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      questo è chiaro che sara la sua area. </p>
      <p class="main"> Se in uno cerchio s’ iscrive uno triangolo, de’ quali e .3. angoli tochino la circunferen-
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      tia del cerchio, è possibile, per la noticia de’ lati del ditto triangolo, trovare il dia-
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      metro del ditto tondo. E, acioché questo chiaro appaia, sia el cerchio nel quale
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      voglio fare il triangolo .abg., de’ quali e .3. angoli, tocando el cerchio ne’ ponti .a.b.g.
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      E dal ponto .a. si meni lo diametro .ad. segante il lato del triangolo .bg. nel ponto .e. Dico
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      che, per la noticia de’ lati del triangolo .abg., esser possibile di trovare la quantitá delo diame-
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      tro .ad. Sienno prima e .2. lati del triangolo .ab. e .ag. infra loro iguali e compisi la retta .bd.
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      e .dg. E sia ciascuno de’ triangoli .abd. e .agd. ortogonio, imperoché ciascuno é nel mezzo cerchio
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