Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctito octava </p>
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      dal’ una al’ altra e quanto saran del piombino a terra perpendiculariter. Fa cosí. Poni che dal
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      piombino al ponto .f. sia .1.co., che .gi. ven a essere .20. men .1.co. Ora, se tu ben guardi, tu ái doi triangoli
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      ortogonii mediante la equedistante .gf., tirata al al ponto dela gravezza del piombo. La quale è
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      quanto bc., cioé .20., per la .34a. del primo de Euclide di quali triangoli, l’ uno éne .agi., l’ altro .efi.
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      E l’ angolo .g. e l’ angolo .f. son retti per la .29a. del primo. Ora, se tu imagini una equedistante ala basa
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      .bc., tirata dal ponto .a. fin al lato .ec., sará ancor lei equale e equedistante al .gf. e causará el triangolo
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      ortogonio .aek., che l’ angolo .k. è retto, che, per non confonderte, in linee .ak. non tiro. E lo ponto .i. sia
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      pure nel medesimo luogo, distante dal .k.l. cosí commo dal .f. Peró, commo de sotto apresso ave-
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      rai, se dirá: se .20., cioé .ak., de basa, mi dá .25., cioé .ae., de potunissa, che mi dará .1.co. de basa, cioé
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      .if. Adonca aveno che gli é cosí .ai.alo.gi. commo .ei. alo .fi. e cosí .ag. alo .gi. commo .ef. alo .fi. E peró
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      dirai, per modo sotietatis, se .20. me dá .25., che me dará .1.co. Multiplica e parti, arai che .1.co. te dará .1 1/4.co.
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      e tanto sia .ei. L’avanzo fin .25., che è .25. men .1 1/4.co., sará .ai. Ora quadra .ei., fará .1 9/16.ce. e di questo chava
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      el quadrato .fi., cioé .1.ce., resta .9/16.ce., la cui .R. sia .ef., cioé .3/4.co. E poi multiplica ancora .gi. in sé, cioé .20. men
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      .1.co., fa .400. men .40.co. piú .1.ce. e questo cava del quadrato .ai., cioé de .625. piú .1.9/16.ce. men .62 1/2.co., re-
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      sta .225. piú .9/16.ce. men .22 1/2.co. La .R. de questo fo .ag., cioé .15. men .3/4.co. Donca, se giogni .10. sopra .ag., fa-
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      rá .25. piú .3/4.co. e sirá equale alo .ef., cioé a .3/4.co., peroché, siando ex ypotesi .ec.10. piú alta che .ab. e da-
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      l’ una e dal’ altra se remove quantitá equale, cioé da .ab. se cava .gb. e dalo .ec. si leva .fc., che sonno
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      equali che ’l mostra la equedistante .gf. Adonca li remanenti sonno .ag. e lo .ef. inequali e peró, gionto
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      .10. sopra .ag., cioé sopra .15. men .3/4.co., fa .25. men .3/4.co. equali a .3/4.co., che è .ef. Aguaglia e sequi la equa-
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      tione, arai la cosa valere .16 2/3. E tanto sia distante el piombino dala torre .ec. piú alta che sia .fi.
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      E la distantia dal piombino ala torre bassa sia .3 1/3., cioé .gi. fatta et cetera. Ora farai de .25. doi tal parti
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      che tanto sia l’ una a .3 1/3. quanto l’ altra a .16 2/3. O voi dire che tal parte sia l’ una del’ altra qualche .3 1/3. de
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      .16 2/3., overo che, multiplicata l’ una per .3 1/3., facia quanto l’ altra multiplicata per .16 2/3., che tanto fará a una via
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      quanto
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      al’ altra. E averai .ai.4 1/6. e lo .ie.20 5/6. E lo .id.27 1/2., perché .ag. sia .2 1/2. et cetera. 64
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      Sono .2. albori, o voi dir torri, l’ una alta .10.ab., l’ altra alta .15.dc., distanti a livello
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      .12.bc. Vengo e tiro doi corde, l’ una .db., l’ altra .ac., cioé dalla cima del’ una al pie’ del’ al-
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      tra. Dimando in che parte se intersegaranno e quanto lonzi da terra e a che parte de ciascuna
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      corda. Fa chosí. Poni che .ei. sia .1.co., poi dí: se .dc., ch’ é .15., mi dá de basa .12., che
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      me dará .1.co. Opra. Te dará .4/5.co. e tanto sara .ib. Poi voltate al triangolo .abc. e dirai: se .ab. ch’ é
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      .10. me dá de basa .12., che me dará .1.co. Che te virrá a dare .6/5.co. E tanto sirá .ic., peroché .ei. perpendicu-
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      lare fue al’ un triangolo e l’altro, movendose dal ponto .e., sotto le potunisse .ac. e .db. Ora cava .4/5.co.,
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      che prima avesti per .bi., de .12., cioé .de.bc., resta .12. men .4/5.co. e tanto viene essere .ic. Et tu ái trovato che lo .ic.,
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      per
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      ragion del triangolo .abc., essere .6/5.co., donca arai .12. men .6/5.co. equale a .6/5.co. Aguaglia e sequi. Arai la cosa va-
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      ler .6. E tanto sia .ei. Ora, per sapere quanto sia .eb., multiplica .bi. in sé, che é .4 4/5., fa .576/25. e multiplica in sé .6.
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      cioé
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      .ei. fa
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      .36. che, gionti insiemi, fanno .59 1/25. e la .R. di questo sia .eb. L’ avanzo fin .d., cioé .ed., sia .R.369. men .R.59 1/25.
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      e lo .ec. sia .R.87 21/25. e lo resto fin .a. sia .R.244. men .R.87 21/25. facta et cetera. 65
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      E gli é un alboro de nave che tende in cono uniformiter, ma schapezzo in ponta, alto
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      .25. El diametro dela basa de sotto è .3., cioé .cg., el diametro dela basa de sopra è
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      .1., cioé .ab. Vogliolo segare in doi parti equali atraverso, che l’ una metto tochi al
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      patrone e l’ altra al nochieri. Dimando quanto distante dale base se doverá segare.
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      Fa chosí. Perché le spetie de piramide troncata, fornesila tutta fin in ponta aguzza in questo
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      modo. Imagina doi perperpendiculari equidistanti dale extremitá del diametro dela basa de so-
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      pra verso la cima al diametro dela basa de sotto e sieno l’ una .ad. l’ altra .bf. che ciascuna sia .25., cioé
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      quanto l’ altezza. Ora tu ái che .df. similmente è .1. commo .ab. Donca .cd. sia .1. e anco .fg.1., secon-
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      do el tema. Ora tu ái da’ lati doi triangoli ortogonij, se ben guardi, cioé .acd. e l’ altro .bfg., che
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      li angoli .d. éne retto e cosí l’ angolo .f. causati dal caso dele perpendiculari. Or prendine uno
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      qual voli, che non fa caso, e sia .acd., del qual li doi lati .ad. e .cd. sonno noti. Ora per for-
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      nire la piramide al suo vertice supremo, che sia el ponto .h., prendi la .1/2. de .cg., cioé dela ba-
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      sa del pede, che è .1 1/2. e sia .ce., nella cui mitá imagina cadere l’ assi .he. perpendiculariter, qual
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      similmente fará un triangolo ortogonio .hce. simile al primo .acd., per la .2a. del .6o. de Euclide:
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      peroché la linea .ad., equedistantemente al terzo lato .he., taglia li doi lati .hc. el lato .ce. nelli pon-
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      ti .a. e .d. che li sega in proportione, per la giá adutta conclusione. Donca, per trovare la quan-
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      titá .he. dirai: per la regola del .3., se .1. de basa, cioé .cd., me dá de catetto .25., cioé .ad., che me
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      dará de catetto .1 1/2., cioé la basa .ce. Multiplica .25. via .1 1/2. e parti in .1. Arai che te dará .37 1/2. per tutto l’ a-
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      xis .he. Ora quadra la basa .cg., con la ragione del cerchio, arai de sua quadratura .7 1/14., qual
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      multiplica via la longhezza tutta del’ alboro, cioé via .he., che è .37 1/2., fará .265 5/26. e tanto sia l’ aria corpo-
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