CONSTAT ex hac propoſitione, ſi quotcunque arcus quadrãtis à ſemidiametro eadé
22Differentię
ſinuũ recto
rũ à princi
pio quadrã
tis vſq; ad
eius finem
ſenſim de-
creſcunt:a-
deo vi ſinꝰ
minorú ar
cuũ maio-
res habeát
differétias,
q̇ ſinꝰ arcuũ
maiorũ; dũ
modo arcꝰ
habeát dif-
ferentias ę
quales. incipientes habeant æquales differentias, exceſſusve; ſinus rectos minorum arcuum habe-
re maiores differentias, quàm ſinus arcuum maiorum; adeo vt differentiæ ſinuum à prin-
cipio quadrantis ad finem vſque ſemper decreſcant. Nam ſi in eadem figura huius propof.
a cci piatur arcus FX, arcubus DE, EF, æ qualis, ducaturq́ue recta XY, ad ſemidiametrum
AC, perpendicularis, habebunt quatuor arcus BX, BF, BE, BD, æquales exceſlus, cum
BX, ipſum BF, ſuperetarcu FX; & BF, ipſum BE, arcu EF, qui arcui FX, poſitus eſt
æqualis; & arcus BE, arcum BD, arcu DE, qui arcui EF, æqualis eſt. Sinus autem recti
eorum arcuum ſunt AY, AI, AH, AG, vt ſupra in ex poſitione definitionum docuimus,
cum ſint partes ſemidiametri AC, inter centrum A, & ſinus complementorum interiectæ,
vt patet. Et quoniam in hac propof. demonftrauimus, rectam GH, maiorem eſſe, quàm
HI, & HI, maiorem, quàm IY; liquet, exceſſum GH, inter ſinus arcuum minorum BE,
BD, maiorem eſſe exceſſu HI, inter ſinus arcuum maiorum BF, BE: Item exceſſum HI,
inter ſinus arcuum minorum BF, BE, maiorem eſſe exceſſu IY, inter ſinus maiorum ar-
cuum BX, BF. Eademq́ue ratio eſt de cæteris. Conſtat igitur, differentias ſinuum rectorum
ſenſim decreſcere à principio quadrantis v ſque ad eius finem: Id quod perſpicuè ex ſinuum
tabula apparet.
22Differentię
ſinuũ recto
rũ à princi
pio quadrã
tis vſq; ad
eius finem
ſenſim de-
creſcunt:a-
deo vi ſinꝰ
minorú ar
cuũ maio-
res habeát
differétias,
q̇ ſinꝰ arcuũ
maiorũ; dũ
modo arcꝰ
habeát dif-
ferentias ę
quales. incipientes habeant æquales differentias, exceſſusve; ſinus rectos minorum arcuum habe-
re maiores differentias, quàm ſinus arcuum maiorum; adeo vt differentiæ ſinuum à prin-
cipio quadrantis ad finem vſque ſemper decreſcant. Nam ſi in eadem figura huius propof.
a cci piatur arcus FX, arcubus DE, EF, æ qualis, ducaturq́ue recta XY, ad ſemidiametrum
AC, perpendicularis, habebunt quatuor arcus BX, BF, BE, BD, æquales exceſlus, cum
BX, ipſum BF, ſuperetarcu FX; & BF, ipſum BE, arcu EF, qui arcui FX, poſitus eſt
æqualis; & arcus BE, arcum BD, arcu DE, qui arcui EF, æqualis eſt. Sinus autem recti
eorum arcuum ſunt AY, AI, AH, AG, vt ſupra in ex poſitione definitionum docuimus,
cum ſint partes ſemidiametri AC, inter centrum A, & ſinus complementorum interiectæ,
vt patet. Et quoniam in hac propof. demonftrauimus, rectam GH, maiorem eſſe, quàm
HI, & HI, maiorem, quàm IY; liquet, exceſſum GH, inter ſinus arcuum minorum BE,
BD, maiorem eſſe exceſſu HI, inter ſinus arcuum maiorum BF, BE: Item exceſſum HI,
inter ſinus arcuum minorum BF, BE, maiorem eſſe exceſſu IY, inter ſinus maiorum ar-
cuum BX, BF. Eademq́ue ratio eſt de cæteris. Conſtat igitur, differentias ſinuum rectorum
ſenſim decreſcere à principio quadrantis v ſque ad eius finem: Id quod perſpicuè ex ſinuum
tabula apparet.
PROBL. 1. PROPOS. 2.
LATERA Decagoni, &
Pentagoni æquila-
33Latera De.
cagoni, &
Penta goni
in vno eo-
demq; cir-
culo quo
pacto inue-
niantur. teri in vno eodemq́; circulo inueſtigare.
33Latera De.
cagoni, &
Penta goni
in vno eo-
demq; cir-
culo quo
pacto inue-
niantur. teri in vno eodemq́; circulo inueſtigare.
QVAMVIS hæc latera inueniantur per ea, quæ ab Euclide lib.
4.
ſunt
demonſtrata: nihilominus eadem à Ptolemæo lib. 1. Almageſti cap. 9. inueſti-
gantur ratione alia, quæ ad plurimorum ſinuum inuentionem multum con-
ducit. Eſt autem hæc ratio. Sit circulus, vel (quod ſatis eſt) ſemicirculus ABC,
119[Figure 119]
ad cuius diametrum AC, ex D, centro
educatur perpendicularis DB. Diuiſa
quoque ſemidiametro CD, bifariam
in E, ducatur recta EB, cui ęqualis ab-
ſcindatur EF, iungaturq́ue recta FB.
Dico rectam BF, eſſe latus Penta-
goni, & DF, latus Decagoni in cir-
culo ABC. Cum enim recta CD,
ſecta ſit bifariam in E, eique addi-
ta DF; erit rectangulum ſub CF, DF,
446.ſecundi. vna cum quadrato rectæ DE, æquale
quadrato rectæ EF, ideoq́ quadrato rectæ EB, quæ ipſi EF, ęqualis
eſt: Eſt autem quadratum rectæ EB, æquale quadratis rectarum BD, DE.
5547.primi. Igitur rectangulum ſub CF, DF, vnà cum quadrato rectæ DE, æquale eſt
quadratis rectarum BD, DE: Ac proinde, dempto communi quadrato rectæ
De, relinquetur rectangulum ſub CF, DF, æquale quadrato rectæ BD,
hoc eſt, quadrato rectæ CD. Quamobrem erit, vt CF, ad CD, ita CD, ad
6617.fexti. DF; proptereaq́ue recta CF, diuiſa erit in D, extrema ac media ratione. Cum
igitur maius ſegmentum CD, ſit latus Hexagoni in circulo ABC, ex
demonſtrata: nihilominus eadem à Ptolemæo lib. 1. Almageſti cap. 9. inueſti-
gantur ratione alia, quæ ad plurimorum ſinuum inuentionem multum con-
ducit. Eſt autem hæc ratio. Sit circulus, vel (quod ſatis eſt) ſemicirculus ABC,
educatur perpendicularis DB. Diuiſa
quoque ſemidiametro CD, bifariam
in E, ducatur recta EB, cui ęqualis ab-
ſcindatur EF, iungaturq́ue recta FB.
Dico rectam BF, eſſe latus Penta-
goni, & DF, latus Decagoni in cir-
culo ABC. Cum enim recta CD,
ſecta ſit bifariam in E, eique addi-
ta DF; erit rectangulum ſub CF, DF,
446.ſecundi. vna cum quadrato rectæ DE, æquale
quadrato rectæ EF, ideoq́ quadrato rectæ EB, quæ ipſi EF, ęqualis
eſt: Eſt autem quadratum rectæ EB, æquale quadratis rectarum BD, DE.
5547.primi. Igitur rectangulum ſub CF, DF, vnà cum quadrato rectæ DE, æquale eſt
quadratis rectarum BD, DE: Ac proinde, dempto communi quadrato rectæ
De, relinquetur rectangulum ſub CF, DF, æquale quadrato rectæ BD,
hoc eſt, quadrato rectæ CD. Quamobrem erit, vt CF, ad CD, ita CD, ad
6617.fexti. DF; proptereaq́ue recta CF, diuiſa erit in D, extrema ac media ratione. Cum
igitur maius ſegmentum CD, ſit latus Hexagoni in circulo ABC, ex