1Unde etiam interſectiones Sectionum Conicarum & Curvarum ter
tiæ poteſtatis, eo quod ſex eſſe poſſunt, ſimul prodeunt per æqua
tiones ſex dimenſionum, & interſectiones duarum Curvarum tertiæ
poteſtatis, quia novem eſſe poſſunt, ſimul prodeunt per æqua
tiones dimenſionum novem. Id niſi neceſſario fieret, reducere licc
ret Problemata omnia Solida ad Plana, & pluſquam Solida ad Soli
da. Loquor hic de Curvis poteſtate irreducibilibus. Nam ſi æqua
tio per quam Curva definitur, ad inferiorem poteſtatem reduci
poſſit: Curva non erit unica, ſed ex duabus vel pluribus compoſi
ta, quarum interſectiones per calculos diverſos ſeorſim inveniri
poſſunt. Ad eundem modum interſectiones binæ rectarum & ſecti
onum Conicarum prodeunt ſemper per æquationes duarum dimen
ſionum; ternæ rectarum & Curvarum irreducibilium tertiæ poteſtatis
per æquationes trium, quaternæ rectarum & Curvarvm irreducibi
lium quartæ poteſtatis per æquationes dimenſionum quatuor, & ſic
in infinitum. Ergo rectæ & Spiralis interſectiones numero infinitæ, cum
Curva hæc ſit ſimplex & in Curvas plures irreducibilis, requirunt æ
quationes numero dimenſionum & radicum infinitas, quibus omnes
poſſunt ſimul exhiberi. Eſt enim eadem omnium lex & idem calculus.
Nam ſi a polo in rectam illam ſecantem demittatur perpendiculum,
& perpendiculum illud una cum ſecante revolvatur circa polum, in
terſectiones Spiralis tranſibunt in ſe mutuo, quæque prima erat ſeu
proxima, poſt unam revolutionem ſecunda erit, poſt duas tertia,
& ſic deinceps: nec interea mutabitur æquatio niſi pro mutata mag
nitudine quantitatum per quas poſitio ſecantis determinatur. Unde
cum quantitates illæ poſt ſingulas revolutiones redeunt ad magNI
tudines primas, æquatio redibit ad formam primam, adeoque una
eademque exhibebit interſectiones omnes, & propterea radices ha
bebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi poſſunt. Nequit
ergo interſectio rectæ & Spiralis per æquationem finitam generali
ter inveniri, & idcirco nulla extat Ovalis cujus area, rectis impe
ratis abſciſſa, poſſit per talem æquationem generaliter exhiberi.
tiæ poteſtatis, eo quod ſex eſſe poſſunt, ſimul prodeunt per æqua
tiones ſex dimenſionum, & interſectiones duarum Curvarum tertiæ
poteſtatis, quia novem eſſe poſſunt, ſimul prodeunt per æqua
tiones dimenſionum novem. Id niſi neceſſario fieret, reducere licc
ret Problemata omnia Solida ad Plana, & pluſquam Solida ad Soli
da. Loquor hic de Curvis poteſtate irreducibilibus. Nam ſi æqua
tio per quam Curva definitur, ad inferiorem poteſtatem reduci
poſſit: Curva non erit unica, ſed ex duabus vel pluribus compoſi
ta, quarum interſectiones per calculos diverſos ſeorſim inveniri
poſſunt. Ad eundem modum interſectiones binæ rectarum & ſecti
onum Conicarum prodeunt ſemper per æquationes duarum dimen
ſionum; ternæ rectarum & Curvarum irreducibilium tertiæ poteſtatis
per æquationes trium, quaternæ rectarum & Curvarvm irreducibi
lium quartæ poteſtatis per æquationes dimenſionum quatuor, & ſic
in infinitum. Ergo rectæ & Spiralis interſectiones numero infinitæ, cum
Curva hæc ſit ſimplex & in Curvas plures irreducibilis, requirunt æ
quationes numero dimenſionum & radicum infinitas, quibus omnes
poſſunt ſimul exhiberi. Eſt enim eadem omnium lex & idem calculus.
Nam ſi a polo in rectam illam ſecantem demittatur perpendiculum,
& perpendiculum illud una cum ſecante revolvatur circa polum, in
terſectiones Spiralis tranſibunt in ſe mutuo, quæque prima erat ſeu
proxima, poſt unam revolutionem ſecunda erit, poſt duas tertia,
& ſic deinceps: nec interea mutabitur æquatio niſi pro mutata mag
nitudine quantitatum per quas poſitio ſecantis determinatur. Unde
cum quantitates illæ poſt ſingulas revolutiones redeunt ad magNI
tudines primas, æquatio redibit ad formam primam, adeoque una
eademque exhibebit interſectiones omnes, & propterea radices ha
bebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi poſſunt. Nequit
ergo interſectio rectæ & Spiralis per æquationem finitam generali
ter inveniri, & idcirco nulla extat Ovalis cujus area, rectis impe
ratis abſciſſa, poſſit per talem æquationem generaliter exhiberi.
Eodem argumento, ſi intervallum poli & puncti, quo Spiralis de
ſcribitur, capiatur Ovalis perimetro abſciſſæ proportionale, pro
bari poteſt quod longitudo perimetri nequit per finitam æquatio
nem generaliter exhiberi. De Ovalibus autem hic loquor quæ non
tanguntur a figuris conjugatis in infinitum pergentibus.
ſcribitur, capiatur Ovalis perimetro abſciſſæ proportionale, pro
bari poteſt quod longitudo perimetri nequit per finitam æquatio
nem generaliter exhiberi. De Ovalibus autem hic loquor quæ non
tanguntur a figuris conjugatis in infinitum pergentibus.