Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio octava. </p>
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      .3., che me dará .od., che è .10. Multiplica e parti. Troverari che te dará .R.3 51/58. E tanto, per la ragion ditta, te
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      s’ apresentará quel che sta nel ponto .e. Donca, per essere lui dislontanato dal ponto .d.bracia.6., á disgrada-
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      to .3. men .R.3 51/56. E quel che sta in ponto .d. te s’ apresenta quel medesimo che gli é a ponto, cioé bracia .3. Ma,
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      quando nel ponto .a. vine fusse un altro dela medesima altezza, che virria a esser distante dal .d. bracia
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      .8., alora similmente quel che sta nel ponto .d. virria a degradare ancor lui. E quell che stesse nel pon-
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      to .a. staria saldo in sua quantitá, peroché gli é el termine a te piú proximano che sia. E, se tu volesse trova-
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      re il digradamento di quel che sta nel ponto .d., alor diresti commo negli altri hai facto, cioé: se .10.
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      me dá .3., che me dará .6. Che te veria a dare .1 4/5. Siché, per la mutation sua, dal ponto .a. fine al
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      ponto .d. che è .8., vene a esser digradato el resto da .1 4/5. fine a .3., che è .1 1/5. a ponto. Cosí te converia
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      poi similmente ritrovare gli altri del ponto .c. e ponto .b. dicendo: se .R.232. me dá .3., che me dará
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      .6. E tanto te se rapresenterá quello del ponto .c. E poi, per quello del ponto .b., dirai: se .R.712. me dá
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      .3., che me dará .6. E quello che ti dará, tanto ti parrá quello dil ponto .b. E cosí, se fossero infinite per-
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      sone sopra una medesima linea, o da man destra o da senestra, commo si voglia, o de equali o vero
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      de diverse distantie, o de equali overo diverse altezze over stature (commo torri, merli o simili co-
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      se che vano a filo) trovaresti di tutti lor potomisse per la via ditta con la notitia dela perpendicu-
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      lare da te al ditto piano. Avenga che l’ uno fosse alto .4.5.6..10.20. et cetera. Sempre dirai: se questa poto-
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      missa me dá d’ altezza (.0.4.0.5. che si voglia.), che me dará quella ch’ é piú proximana. E quello che
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      te dará tanto te rapresentará l’ alteza che sia in capo de ditta ypotomissa. E ’l digradamento puoi per
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      te facilmente trovarai. E cosí farai in tutte simili. Avenga che fossero o da man dextra o da sene-
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      stra de ditta perpendiculare: observarai similmente. E, per piú tua chiareza, qui da lato guarda la
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      figura et cetera. E, quando te fosse datto fermo l’ ultimo, quello del ponto .b., e per quello tu volesse sapere quan-
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      to te s’ apresenteran gli altri piú, alora faresti al contrario, perché ciascuno te virrá a crescere e dire-
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      sti: se .od., ch’ é .10., me dá .3., che me dará .R.712., che te virrá a dare .R.64 2/25. e tanto te se mostra-
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      rá quello del ponto .d. E cosí viresti per gli altri, a uno a uno. Per quello de .e. diresti: se .10. me dá .3., che
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      me dará .R.232., che te virá a dare .R.20 22/25. e tanto te mostrará quello del ponto .e. et cetera va per lo
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      contrario che di sopra festi </p>
      <p class="main"> E gli é un quadro .abcd. per facia .10. Io lo voglio redure a .8. facce e consumarne meno
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      sia possibile. Dimando commo se habia a fare geometrice e ancora per arithmetica.
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      Dico che se de’ fare cosí per geometria. Tira el diametro in lo ditto quadro, che sia .bc., e divi-
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      dilo in mezzo in ponto .t. e super esso descrivi el cerhio torno al ditto quadro e poi l’ archo
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      .ab. dividi in mezzo in ponto .e. e cosí li altri archi: .ac. in .f.cd. in .g.db. in .h. E tira le liniee da ditti pon-
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      ti dividenti ditti archi per equali dal’ uno e l’ altro e harai un altro quadro .efgh. el qual taglia li ango-
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      li del primo quadro neli ponti .k.p.l.m.n.o.p.q.r. Queli sonno angoli del quesito octagono equilatero e an-
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      che equiangolo, commo vedi in figura, e questo è il magior che si possa fare del ditto quadro, perdendo man-
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      co si possa del quadro et cetera. Ancora potevi fare el tondo dentro al quadro e far similiter e haresti lo
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      octagon, ma si perde asai del .primo. quadro et cetera. Or prendila arithmetice. Poni che si levi del lato
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      .ab .1.co. per lo .ak., donca .1.co. ancora se ne leverá del lato .ac. per lo .am. Ora tu hai uno triangolo or-
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      togonio .akm. del quale l’ angolo .a. è retto, per la penultima del .po. Euclidis, el quadratto del lato .km.
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      fa li altri .2. Peró quadra .ak., fa .1.ce. e quadra .am. fa .1.ce., similiter queli giongni insemi fanno .2.ce. per lo qua-
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      drato delo .km. Donca la .R.2.ce. sia .km., lato delo octagono, quale serba. Ora prendi .kl., che sirá
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      .10. men .2.co., perché a ogni cantone perde .1.co., siché vien restar .kl.10. men .2.co. Multiplica li extremi in sé harai .2.
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      ce
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      equali a .100.
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      men .40.co. piú .4.ce. Aguaglia le parti levando li superflui e rendendo li debiti. Harai in ultima equatione, quan-
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      do la sia recata a .1.ce., .50. piú .1.ce. equali a .20.co. Smezza le cose, multiplica in sé, cavane el numero, resta .50.e.
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      .R. di questo cava del dimezzamento e harai la cosa valere .10. men .R.50. E tanto s’ é levato dela fa-
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      cia verso ciascun angolo del quadro e sirá .ak. e ancho .lb. e ancho .qd. e .rd. e .co. e .cm. et cetera. Ora
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      trova .km. multiplicando in sé .ak., ch’ é .10. men .R.50., fa .15. men .R.20000. e altretanto sia el quadrato
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      .am. che, gionti insemi, fanno .300. men .R.80000. E tanto sia el quadrato del lato opposito al’ ango-
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      lo retto .a., cioé de .k.m. Donca la sua .R. universale, overo legata, sia ditto lato .km., cioé .Ru.
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      .300. men .R.80000. e altretanto sia .kl. lato pure del quesito octagono. Donca harai quella .R. lega-
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      ta equal a .R.200. men .10., che sta bene, che tanto val l’ una commo l’ altra, peroché quella .R.
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      legata in sé fa .300. men .R.80000. e tanto ancora fa .R.200. men .10. in sé dutto, cioé .300. men
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      .R.80000., siché tanto sia l’ una commo l’ altra ratione quadrature quod est nota, dignissimum
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      in similibus ut patet quamvis denominationes sint diverse tamen quantitas est
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      eadem utrobique et cetera. </p>
      <p class="main"> Una botte tien .10. barili; ne voglio ogni giorno trare la decima parte di quello che io vi
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