131101LIBER TERTIVS.
ſarum.
Et quia eſt, vt AD, ad DE, ita AF, ad FG:
eritrectangulo ſub A D, 114. ſexti.
æquale rectangulum ſub D E, AF.
Eadem ratione erit rectangulo ſub a d, F G.
2216. ſexti. rectangulum ſub dH, aF, æquale: propterea quod etiam eſt vta d, ad dH, 334. ſexti. aF, ad F G. Cum ergo rectangulum ſub AD, FG, æquale ſit rectangulo ſub a d,
F G, quod rectæ A D, a d, æquales ſint: erit quo que rectangulum ſub dH, aF,
rectangulo ſub DE, AF, hoc eſt, ſub dI, AF, æquale; ideo que erit, vt dH, 4416. ſexti. ad d I, ſecundam, ita AF, tertia ad AF, quartam: Et permutando, vt tota dH, ad
totam AF, ita ablata dI, ad ablatam aF. Igitur erit quoque reliqua H I, ad 5519. quinti. quam Aa, vt tota d H, ad totam A F. Quocirca ſit fiat,
66 2216. ſexti. rectangulum ſub dH, aF, æquale: propterea quod etiam eſt vta d, ad dH, 334. ſexti. aF, ad F G. Cum ergo rectangulum ſub AD, FG, æquale ſit rectangulo ſub a d,
F G, quod rectæ A D, a d, æquales ſint: erit quo que rectangulum ſub dH, aF,
rectangulo ſub DE, AF, hoc eſt, ſub dI, AF, æquale; ideo que erit, vt dH, 4416. ſexti. ad d I, ſecundam, ita AF, tertia ad AF, quartam: Et permutando, vt tota dH, ad
totam AF, ita ablata dI, ad ablatam aF. Igitur erit quoque reliqua H I, ad 5519. quinti. quam Aa, vt tota d H, ad totam A F. Quocirca ſit fiat,
Vt H I, differentia \\ vmbrarum verſa- \\ rum # ad Aa, differentiam \\ ſtationum: # Ita dH, vmbra verſa \\ propinquioris ſtatio- \\ nis, ſiue maior, # ad A F, \\ diſtantiã
producetur A F, diſtantia nota in partibus differentiæ ſtationum Aa, notæ.
2.
Eadem prorſus ratio eſt in quadrato pendulo.
Nam filum perpendiculi
abſcindit quo que triangula ADE, ad H, triangulis AFG, aFG, æquiangula: pro-
7729. primi. pterea, quod tam anguli D, F, rectiſunt, & angulus F, hoc eſt, alternus B A E, angulo AGF, externus interno æqualis; quam anguli d, F, recti, & angulus H, id
eſt, alternus ba H, angulo a G F, externus interno æqualis. Reliqua demonſtra-
buntur, vt prius. ſunt enim vmbræ verſæ in pendulo quadrato vmbris in ſtabili
æquales. Nam cum duo anguli D, E, in triangulo ADE, quadrati penduli æqua-
les ſint duobus angulis D, E, in triangulo ADE, quadrati ſtabilis, quod ea trian-
8826. primi. gula ſint, vt oſtendimus, æquiangula: ſint autem & latera AD, AD æqualia; e- runt & rectæ D E, D E, hoc eſt, vmbræ verſæ, æquales. Eademque ratione verſæ
vmbræ d H, d H, æquales erunt, & c.
abſcindit quo que triangula ADE, ad H, triangulis AFG, aFG, æquiangula: pro-
7729. primi. pterea, quod tam anguli D, F, rectiſunt, & angulus F, hoc eſt, alternus B A E, angulo AGF, externus interno æqualis; quam anguli d, F, recti, & angulus H, id
eſt, alternus ba H, angulo a G F, externus interno æqualis. Reliqua demonſtra-
buntur, vt prius. ſunt enim vmbræ verſæ in pendulo quadrato vmbris in ſtabili
æquales. Nam cum duo anguli D, E, in triangulo ADE, quadrati penduli æqua-
les ſint duobus angulis D, E, in triangulo ADE, quadrati ſtabilis, quod ea trian-
8826. primi. gula ſint, vt oſtendimus, æquiangula: ſint autem & latera AD, AD æqualia; e- runt & rectæ D E, D E, hoc eſt, vmbræ verſæ, æquales. Eademque ratione verſæ
vmbræ d H, d H, æquales erunt, & c.
3.
Si in vtraq;
ſtatione vmbra recta abſcindatur à linea fiduciæ, vel à filo per-
pendiculi, vtin E, & H, quod quidem ſemper continget, quando diſtantia A F,
minor eſt altitudine FG, quod tunc angulus A, maior fiat angulo G, ac 9918. primi. de ſemirecto maior, quem cum AD, conſtitueret radius per C, emiſſus. Eritque
vmbra recta BE, in remotiore ſtatione ma-
59[Figure 59]
ior, quã vmbra recta b H, in ſtatione pro-
pinquiore, quòd angulus FaG, maior 101016. primi. angulo F A G; ac proinde baH, minor an-
gulo BAE. Auferatur BI, ipſi bH, æqualis,
vt I E, differentia ſit vmbrarum rectarum.
Et quia triangula ABE, AFG, æquiangula
ſunt, propter angulos rectos B, F, & 111129. primi. ternos æquales B A E, A G F: erit vt A 12124. ſexti. ad B E, ita F G, ad A F, & permutando, vt
AB, ad F G, ita BE, ad A F. Eademratione,
quia triãgula a b H, a F G, æquiãgula ſunt,
131329. primi. propter rectos angulos b, F, & alternos æquales b a H, a G F, erit vt ab, ad b H,14144. ſexti. ita F G, ad a F: Et permutando vt a b, ad
FG, ita b H, ad A F. Cum ergo ſit, vt AB, ad
F G, ita a b, ad FG, propter rectas æquales
AB, a b. erit quo que vt BE, tota ad A 151511. quinti.
pendiculi, vtin E, & H, quod quidem ſemper continget, quando diſtantia A F,
minor eſt altitudine FG, quod tunc angulus A, maior fiat angulo G, ac 9918. primi. de ſemirecto maior, quem cum AD, conſtitueret radius per C, emiſſus. Eritque
vmbra recta BE, in remotiore ſtatione ma-
pinquiore, quòd angulus FaG, maior 101016. primi. angulo F A G; ac proinde baH, minor an-
gulo BAE. Auferatur BI, ipſi bH, æqualis,
vt I E, differentia ſit vmbrarum rectarum.
Et quia triangula ABE, AFG, æquiangula
ſunt, propter angulos rectos B, F, & 111129. primi. ternos æquales B A E, A G F: erit vt A 12124. ſexti. ad B E, ita F G, ad A F, & permutando, vt
AB, ad F G, ita BE, ad A F. Eademratione,
quia triãgula a b H, a F G, æquiãgula ſunt,
131329. primi. propter rectos angulos b, F, & alternos æquales b a H, a G F, erit vt ab, ad b H,14144. ſexti. ita F G, ad a F: Et permutando vt a b, ad
FG, ita b H, ad A F. Cum ergo ſit, vt AB, ad
F G, ita a b, ad FG, propter rectas æquales
AB, a b. erit quo que vt BE, tota ad A 151511. quinti.