Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio octava </p>
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      questo è quel numero che á .1/2 1/3 _. integraliter per l’ ordinario trovato. Ma al piú basso, .12. ancora
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      á le medesime parti e tanto te serve uno quanto l’ altro. Ma quanto piú basso possiamo operare
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      tanto è meglio e men briga. Or, facto questo, vedi in questo tempo de ore .12. quante volte li cannoni de
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      sopra (lavorando a modo ditto) inpirieno quella de sotto, che lo trovarai in questo modo. Tu fai che ’l
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      primo cannon per sé l’ enpi in un’ ora, donca lui l’ enpi .12. volte in .12. ore. E quello da .2. l’ enpirá .6. volte. E
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      quello da .3. l’ enpi .4. volte. Ora summa insiemi .12.6.4., fanno .22. Siché tu hai che fra tutti .3. ‘ditti cannoni
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      la se inpiria .22. fiade; quel salva da parte. E poi fa per quelli di sotto similmente. Cioé vedi in .12. ore quante
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      ne voitaria el cannon da .2., che ne voitaria .6. e quello da .3. ne voitaria .4. e quel da .4. ne voita-
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      ri .3.; queli suma insiemi, cioé .6.4.3., fanno .13. e tante volte serebe voitata da quelli de sotto nel tem-
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      po de ore .12. Ora cava queste .13. voite de .22. piene, resta .9. piene. E tu voli una sola piena. E
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      peró dirai, per la regola del .3., cosí. Se .9. me sonno inpite da .12. ore, da quante me sirá inpita una.
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      Multiplica e parti secondo la regola ditta. Harai che se inpirá in ore .1 1/3. Facta. La prova farai cosí commo de
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      sopra. Cioé, vedi in .1 1/3. quante n’ enpirá ciascuna a modo ditto che sai commo lavorano, pur per regola del
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      .3. dicendo: se un’ ora me dá .1a. piena per lo primo canonne, che me dará .1 1/3. d’ ora. Te dará .1 1/3. de pila pie-
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      na. E quel da .2. te dará .2/3. de pila. e quel da .3. te ne dará .4/9., che fra tutti .3. te vengono a dare .2 4/9.
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      E tante ne harai de piene in .1 1/3. d’ ora, qual salva. Poi vedi quante ne haverai de voite in ditto tem-
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      po per li cannon de sotto similmente dicendo: se in .2. ore el primo ne voita .1., donca in .1 1/3. ne voita .2/3.
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      El secondo ne voita .4/9., el .3o. ne voita .1/3. che, gionte insiemi .2/3 4/9 1/3., fanno .1 4/9. e tante ne votaranno ore .1
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      1/3.
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      qual cava de .2 4/9., resta una sola aponto piena per quel che volemo. Siché aponto fie facta et cetera. Or
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      prendila per la cosa. Poni che in .1.co. d’ ore quelli de sopra ne inpissero una. Unde el primo, se in un ‘ora
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      n’ empí .1., in .1.co. d’ ore n’ enpirá .1.co. de pile. El .2o.1/2.co., el .3o.1/3.co., qual summe asiemi, cioé .1.co.1/2.co.
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      .1/3.co., fanno .1 5/6.co. e tante pile li .3. empiranno in .1.co. d’ ora. Qual salva da parte. E poi ved quelli de
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      sotto quante ne voitarebeno in .1.co. d’ ore, che troverai el primo d’ essi voitarne .1/2.co., el .2o.1/3.cose., el .3 1/4.co.,
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      quali summa insiemi, fanno .1 1/12.co. e tante ne voitarebeno in .1.co. d’ ore, qual cava de .1 5/6.co., resta .3/4.co.
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      de pile. E tu ne voresti .1a. sola., donca harai .3/4.co. equali a .1. Sequi el capitolo, harai la cosa valere
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      .1 1/3. e in tante ore quelli de sopra haveranno avanzato una pila piena, nonobstante che quelli de sot-
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      to gettino quello che lor danno et cetera. E cosí in simili te regerai. Ma in simili é d’ avertire, ació
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      tu non lavorasse alo impossibile, perché la domanda se porria ponere in modo che non si porebe mai in-
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      pirne alcuna parte dela de sotto. E questo averria quando quelli cannoni de sotto fosero piú velo-
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      ci al voitare che quelli de sopra a impire, che in tal caso mai li de sopra non porienno giongnere quelli
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      de sotto. E anche quando l’ uni e l’ altri lavorassero pari, anche non si giongnerienno. Io n’ ad-
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      verte. E commo habian detto de .3. che inpiano .e. 3 che voitano, cosí poi dire de .3. che empino
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      e .4. che votino, e .10. che empino e .6. che voitino et cetera, proportionando el tempo in modo che quelli de so-
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      pra possino giongnere quelli de sotto et cetera. E cosí, commo habian ditto de doi pile, cosí poi sequire
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      de .3. pile e de .4., travagliando, or piú or manco cannoni, tempo e pile, nondimeno al modo dato,
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      sequiristi e virram sempre bene et cetera. E per questa via ancora faresti quando dicesse solo deli can-
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      noni de sopra, cioé non voitandose quel di sotto in quant’ ore quelli per sé empirieno quel di sotto et é conver-
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      so, cioé siando pieno quel di sotto. E non inpiendo quelli de sopra in quanto tempo quelli voitarie-
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      no el pilo, commo se costuma dire de botti de .3. o .4. cannole et cetera, ponendo sempre .1. numero fermo
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      de ore, de giornoi et cetera e vedere in quel tempo quante volte se inpiria e quante volte se voitaria et cetera e tu
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      poi, per la regola del .3., sempre sequirai lo effecto dicendo: se tante sonno in tant’ ore impite o voi-
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      te et cetera in quant’ ore sira piena una. E cosí sempre operando farai bene et cetera. 93
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      E gli é una verga, o voi dir bastone, eguale qual è deritto e longo palmi .12. e pessa </p>
      <p class="main"> Ora io lo messi in bilico in sul primo palmo e apiccai in sula sumitá de ditto primo palmo
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      una grossa petra con l’ oncino e dipoi tolsi un’ altra petra minore con l’ oncino di ferro
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      e apiccala in sula stremitá opposita del ditto bastone, che pesa ditta minor pietra
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      .libbre.2., cioé .libbre.2. con l’ oncino e trovo che stanno pari li contrapesi, cioé in equilibra. Dimando che
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      pesa la gran petra con l’ oncino. Fa cosí. Prima é da vedere quanto el sopradetto bastone sostien da
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      se stesso, senza l’ aiuto dela picola pietra. E, per questo fare, sappi che ogni bastone iguale, sia longo
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      o corto, a suo modo, se tu lo metti in bilico, cioé in equilibra, diciamo in su sexta parte dela
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      sua lunghezza, ellevará per se stesso el peso de doi bastoni. E, se tu lo metti in bilico in sula quarta
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      parte dela sua longhezza, levará per se stesso el peso d’ un bastone. E, per questo sapere, fa cosí. Noi dicia-
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      mo che ’l ditto bastone è in bilico in sul primo palmo e che in tutto è longo palmi .12., adonca el
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      ditto bastone è in bilico in sul duodecimo dela sua longhezza e peró prendi el mezzo di .12., che
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      sta sotto la verga, che è .6., del quale cava .1., ch’ é sopra alo detto .12., resta .5. e questo parti per lo
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      preditto .1., che sta sopra al .12., ne ven .5. E tanti bastoni sostirrá per se stessa la ditta verga, cioé
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