13396Comment. in I. Cap. Sphæræ
5.
lib.
1.
Eucl.
patet:
in quadrilateris autem figuris omnia latcra habentibus æqualiæ
(quoniam neceſſario ſunt parallelogramma, vt in ſcholio propoſ. 34. lib. 1. Eucl. @-
1134. primi. ſtendimus) ſinguli oppoſiti inter ſe ſint æquales: Idcirco totam hanc propoſitionem
in triangulis, & quadrilateris figuris ita demonſtrabimus. Sit primum triangulum
A B C, inter ſibi Iſoperimetra triangula maximum. Dico illud æquilaterum eſſe &
34[Figure 34]
æquiangulum.
Si enim non
eſt æquilaterum, ſed latera
A B, B C, ſunt inæqualia:
ſi ſuper baſem A C, conſti-
tuatur, per propoſ. 7. hu-
ius triangulum Iſoſceles
A D C, ita ut latera A D,
D C, ſimul æqualia ſint la-
teribus A B, B C, ſimul,
erunt triangula A B C,
A D C, Iſoperimetra, atque adeo per propoſ. 8. huius, A D C, maius quàm A B C, quod
eſt contra hypotheſim. Non ergo inæqualia ſunt latera A B, A C, ſed æqualia. Eademq́.
ratio eſt de cæteris. A E quilaterum ergo eſt triangulum A B C. Igitur, ex coroll. propoſ.
5. lib. 1. Eucl. & æquiangulum eſt. quod eſt, propoſitum.
(quoniam neceſſario ſunt parallelogramma, vt in ſcholio propoſ. 34. lib. 1. Eucl. @-
1134. primi. ſtendimus) ſinguli oppoſiti inter ſe ſint æquales: Idcirco totam hanc propoſitionem
in triangulis, & quadrilateris figuris ita demonſtrabimus. Sit primum triangulum
A B C, inter ſibi Iſoperimetra triangula maximum. Dico illud æquilaterum eſſe &
eſt æquilaterum, ſed latera
A B, B C, ſunt inæqualia:
ſi ſuper baſem A C, conſti-
tuatur, per propoſ. 7. hu-
ius triangulum Iſoſceles
A D C, ita ut latera A D,
D C, ſimul æqualia ſint la-
teribus A B, B C, ſimul,
erunt triangula A B C,
A D C, Iſoperimetra, atque adeo per propoſ. 8. huius, A D C, maius quàm A B C, quod
eſt contra hypotheſim. Non ergo inæqualia ſunt latera A B, A C, ſed æqualia. Eademq́.
ratio eſt de cæteris. A E quilaterum ergo eſt triangulum A B C. Igitur, ex coroll. propoſ.
5. lib. 1. Eucl. & æquiangulum eſt. quod eſt, propoſitum.
Deinde ſit quadrilaterum A B C D, inter omnia ſibi Iſoperimetra maximum.
Dico illud eſſe & æquilaterum & æquiangulum. Si enim non eſt æquilaterum, ſint late-
ra A B, B C, ſi fieri poteſt, inæqualia, ducaturq́ue recta A C. Si igitur, per propoſ. 7.
huius, ſuper A C, conſtituatur triangulum A E C, iſoperimetrum triangulo A B C,
erit, per propoſ. 8. huius, triangulum A E C, maius triangulo A B C, Addito, ergo con
muni triangulo A C D, erit quadrilaterum A E C D, maius quadrilatero A B C D.
quod eſt contra hypotheſim cum A B C D, maximum ponatur. Non ergo inæqualia ſunt
latera A B, B C, ſed ęqualia. Eademq́. ratio eſt de cæteris. AEquilatera ergo eſt fi-
gura A B C D.
Dico illud eſſe & æquilaterum & æquiangulum. Si enim non eſt æquilaterum, ſint late-
ra A B, B C, ſi fieri poteſt, inæqualia, ducaturq́ue recta A C. Si igitur, per propoſ. 7.
huius, ſuper A C, conſtituatur triangulum A E C, iſoperimetrum triangulo A B C,
erit, per propoſ. 8. huius, triangulum A E C, maius triangulo A B C, Addito, ergo con
muni triangulo A C D, erit quadrilaterum A E C D, maius quadrilatero A B C D.
quod eſt contra hypotheſim cum A B C D, maximum ponatur. Non ergo inæqualia ſunt
latera A B, B C, ſed ęqualia. Eademq́. ratio eſt de cæteris. AEquilatera ergo eſt fi-
gura A B C D.
Sit iam quadrilatera figura A B C D, omnium iſoperimetrarum maxima, æqui-
latera, vt oſtenſum eſt, at non æquiangula, ſed anguli B A D, C D A, inæquales ſint.
Quoniam igitur figura A B C D, cum ſit æquilatera parallelogrammum eſt vt in
ſcholio propoſ. 24. lib. 1. Eucl. demonſtrauimus; ſi educantur ex A, & D, duœ linea
perpendiculares A H, D G, occurrentes lateri B C, in H, & G, erit quoque AHGd,
parallelogrammum. Quia uero latera A B, D C, maiora ſunt lateribus AH, D G,
2219. primi. producantur hæc, ut fiant rectæ A E, D F, lateribus A B, D C, æquales, iungaturq́;
recta F F. Quo facto, erit figura A E F D, iſoperimetra parallelogrammo A B C D,
cum latera A E, DF, lateribus A B, D C, ęqualia ſint, latus uero A D, commune,
3334. primi.& latus E F, lateri B C, æquale, quòd vtrumque æquale ſit lateri oppoſito A D.
Cum ergo figura A E F D, maior ſit parallelogrammo A H G D, hoc autem æquale
ſit parallelogrammo A B C D; erit quoque figura A E F D, maior parallelogrammo
4435. primi. A B C D. Quare cum eidem ſit iſoperimetra, non erit A B C D, figura quadrilateræ
inter ſibi Iſoperimetras maximam. quod eſt contra hypotheſim. Non ergo inæquales
ſunt anguli B A D, C D A. ſed æquales: atque adeo cum A B C D, ſit parallelogram-
mum, erunt anguli oppoſiti B, C, angulis D, A, æquales, proptereaq́; tota figura æ-
5534. primi. quiangula erit. quod eſt propoſitum.
latera, vt oſtenſum eſt, at non æquiangula, ſed anguli B A D, C D A, inæquales ſint.
Quoniam igitur figura A B C D, cum ſit æquilatera parallelogrammum eſt vt in
ſcholio propoſ. 24. lib. 1. Eucl. demonſtrauimus; ſi educantur ex A, & D, duœ linea
perpendiculares A H, D G, occurrentes lateri B C, in H, & G, erit quoque AHGd,
parallelogrammum. Quia uero latera A B, D C, maiora ſunt lateribus AH, D G,
2219. primi. producantur hæc, ut fiant rectæ A E, D F, lateribus A B, D C, æquales, iungaturq́;
recta F F. Quo facto, erit figura A E F D, iſoperimetra parallelogrammo A B C D,
cum latera A E, DF, lateribus A B, D C, ęqualia ſint, latus uero A D, commune,
3334. primi.& latus E F, lateri B C, æquale, quòd vtrumque æquale ſit lateri oppoſito A D.
Cum ergo figura A E F D, maior ſit parallelogrammo A H G D, hoc autem æquale
ſit parallelogrammo A B C D; erit quoque figura A E F D, maior parallelogrammo
4435. primi. A B C D. Quare cum eidem ſit iſoperimetra, non erit A B C D, figura quadrilateræ
inter ſibi Iſoperimetras maximam. quod eſt contra hypotheſim. Non ergo inæquales
ſunt anguli B A D, C D A. ſed æquales: atque adeo cum A B C D, ſit parallelogram-
mum, erunt anguli oppoſiti B, C, angulis D, A, æquales, proptereaq́; tota figura æ-
5534. primi. quiangula erit. quod eſt propoſitum.
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib