Bernoulli, Daniel - Hydrodynamica, sive De viribus et motibus fluidorum commentarii

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134120HYDRODYNAMICÆ

Hæc autem de oſcillationibus finitis. Si nunc oſcillationes minimas
eſſe cenſeamus, videbimus illas fieri omnes inter ſe tantochronas, manen-
te eadem fluidi quantitate, eodemque canali, quæcunque interea ſint cana-
lis figura & amplitudines. Id exponam in ſequenti paragrapho.

Theorema.

§. 17. Oſcillationes minimæ fluidi in quocunque canali oſcillantis,
quamvis inæquales inter ſe, ſunt omnes Iſochronæ.

Demonſtratio.

Cum oſcillationes ſunt minimæ, poſſunt illæ canalis particulæ, in qui-
bus ſuperficies fluidi agitantur, pro cylindricis haberi, igitur manentibus
denominationibus iisdem, manebit valor, quem aſſignavimus litteræ v in
§. 8. & ex eadem ratione ſequitur, litteras a, b, α, β & x ceu infinite parvi
valoris negligi poſſe præ {M/g}, ſic ut in præſenti caſu cenſeri debeat
v = {2gγaαcx - (gγαb + ggab)xx/2γaαMN}

Sunt igitur vi paragraphi duodecimi oſcillationes omnes, quoad mi-
nimæ ſunt, inter ſe Iſochronæ. Q. E. D.

Problema.

§. 18. Determinare longitudinem penduli ſimplicis tautochroni cum
oſcillationibus minimuis fluidi in canali quocunque agitati.

Solutio.

Quia in omni motu eſt elementum temporis dt = {dx/√v}, erit nunc
dt = dx√(2γaαMN/gγαb + ggab}): √({2γaαcx/γαb + gaβ} - xx)
Igitur vi Paragraphi decimi tertii erit longitudo quæſita penduli cum præ-
dictis oſcillationibus tautochroni = {γaαMN/gγαb + ggaβ}. Q. E. I.

Scholium.

§. 19. Quamvis jam paſſim monuerim, quid intelligendum ſit

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