Bernoulli, Daniel - Hydrodynamica, sive De viribus et motibus fluidorum commentarii

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135121SECTIO SEXTA. quantitates M & N, tamen hic apponam totam conſtructionem, ut natura
rei eo magis unicuique pateat.

Fuerit canalis qualiscunque A B C D E, (Fig. 35. a & b) aqua plenus us-
11Fig. 35.
a & b. que in B & D; ponatur ſinus totus = 1, ſinus anguli D B C = {b/a} = m,
ſinus anguli B D C = {β/α} = n, erit longitudo penduli tautochroni = {γMN/mgγ + ngg},
ubi g denotat amplitudinem canalis in B & γ amplitudinem ejus in D.

Concipiatur nunc longitudo canalis B C D fluido plena in rectam ex-
tenſa bcd, ſuper qua ceu axe fiat curva F G H, quæ ſit ſcala amplitudinum
in locis homologis, ita, ut poſita bc = B C ſit c G ad b F, ut amplitudo in
C ad amplitudinem in B. Igitur ſi b F repræſentet amplitudinem in B, tunc
ſpatium bd H F repræſentabit magnitudinem M. Deinde ſuper eodem axe bd
conſtruatur alia curva L M N, cujus applicata c M ſit ubique {bF2/cG} & erit
(per §. 2. ſect. 3.) N = ſpatio b d N L diviſo per ſpatium bd H F, ita ut ſit
M X N = ſpatio b d N L, quod multiplicatum per {γ/mgγ + ngg} dabit longitu-
dinem penduli tautochroni.

Corollarium 1.

§. 20. Si tubus B C D ſit ubique ejusdem amplitudinis, ejusque lon-
gitudo dicatur l, erit F H linea recta ipſi bd parallela, pariter atque L N:
hinc ſpatium bd N L = gl & longitudo penduli tautochroni = {l/m + n}.

Corollarium 2.

§. 21. Sit B C D canalis conicus longitudinis l; erit c G (poſita bc = x)
= ({x/l}[√γ - √g] + √g)2; unde cM = gg: ({x/l}[√γ - √g] + √g)2;
ergo ſpatium bcML = {ggl/√gγ - g} - {ggl/√γ - γg}: ({x/l}[√γ - √g] + √g) &
proinde totum ſpatium bdN L = {ggl/√gγ - g} + {ggl/√gγ - γ} = {ggl/√gγ}: Eſt
igitur longitudo penduli tautochroni cum oſcillante aqua = {l√gγ/mγ + ng}.

Hinc intelligitur cæteris paribus oſcillari aquam tardiſſime cum

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