Si verò in noſtra hypotheſi ſpatium, quod reſpondet primæ parti tem
poris AC ſit idem cum illo, quod reſpondet eidem parti in ſententia
Galilei, id eſt æquale triangulo CAG, ſumma ſpatiorum erit minor in
noſtra hypotheſi triangulo AFN ſex triangulis æqualibus triangulo
ACG; igitur erit vt 10.ad 16. igitur minor 1/8. ſi verò diuidantur in 8.
temporis partes, triangulum AFN continebit 64. triangula æqualia
AXQ: at verò ſumma quæ reſpondet noſtræ hypotheſi 36.igitur minor
(7/16). denique ſi diuidantur in 16. partes, triangulum AFN continebit
256. triangula æqualia AYZ; at verò ſumma noſtra 136. igitur minor
(15/52) ſed nunquam erit minor 1/2.
poris AC ſit idem cum illo, quod reſpondet eidem parti in ſententia
Galilei, id eſt æquale triangulo CAG, ſumma ſpatiorum erit minor in
noſtra hypotheſi triangulo AFN ſex triangulis æqualibus triangulo
ACG; igitur erit vt 10.ad 16. igitur minor 1/8. ſi verò diuidantur in 8.
temporis partes, triangulum AFN continebit 64. triangula æqualia
AXQ: at verò ſumma quæ reſpondet noſtræ hypotheſi 36.igitur minor
(7/16). denique ſi diuidantur in 16. partes, triangulum AFN continebit
256. triangula æqualia AYZ; at verò ſumma noſtra 136. igitur minor
(15/52) ſed nunquam erit minor 1/2.
Obſeruabis obiter dictum eſſe ſuprà ſummam rectangulorum CB CI
EK EN eſſe maiorem triangulo AFN, 2.quadratis æqualibus CB; ſi
verò diuidatur tempus in 8. partes, ſumma rectangulorum eſt minor præ
cedenti ſummâ, toto quadrato æquali CB, id eſt 4.quadratis æqualibus
XB, id eſt 1/2 primæ differentiæ, quæ eſt ſumma duorum quadratorum
æqualium CB; at ſi diuidatur in 16. partes, tempus AF, ſumma rectan
gulorum eſt minor præcedente 8. quadratis æqualibus QZ, vel ſubdu
plo quadrati CB, id eſt 1/4 primæ differentiæ quæ eſt ſumma duorum
quadratorum æqualium CB; ſi 4. partes temporis diuidantur in 8. de
trahitur 1/2 differentiæ, quæ eſt inter ſummam primam rectangulorum,
& triangulum AFN; ſi diuidantur in 16. detrahitur 1/4 eiuſdem diffe
rentiæ; ſi diuidantur in 32. detrahitur 1/8, ſi in 64. (1/16); atque ita deinceps,
& nunquam hæ minutiæ ſubtractæ in infinitum totam differentiam ex
haurient; hinc minutiæ iſtæ 1/2 1/4 1/8 (1/16) (1/32) (1/64) &c. in infinitum non fa
ciunt vnum integrum; ſed hæc ſunt facilia.
EK EN eſſe maiorem triangulo AFN, 2.quadratis æqualibus CB; ſi
verò diuidatur tempus in 8. partes, ſumma rectangulorum eſt minor præ
cedenti ſummâ, toto quadrato æquali CB, id eſt 4.quadratis æqualibus
XB, id eſt 1/2 primæ differentiæ, quæ eſt ſumma duorum quadratorum
æqualium CB; at ſi diuidatur in 16. partes, tempus AF, ſumma rectan
gulorum eſt minor præcedente 8. quadratis æqualibus QZ, vel ſubdu
plo quadrati CB, id eſt 1/4 primæ differentiæ quæ eſt ſumma duorum
quadratorum æqualium CB; ſi 4. partes temporis diuidantur in 8. de
trahitur 1/2 differentiæ, quæ eſt inter ſummam primam rectangulorum,
& triangulum AFN; ſi diuidantur in 16. detrahitur 1/4 eiuſdem diffe
rentiæ; ſi diuidantur in 32. detrahitur 1/8, ſi in 64. (1/16); atque ita deinceps,
& nunquam hæ minutiæ ſubtractæ in infinitum totam differentiam ex
haurient; hinc minutiæ iſtæ 1/2 1/4 1/8 (1/16) (1/32) (1/64) &c. in infinitum non fa
ciunt vnum integrum; ſed hæc ſunt facilia.
Quarta ratio, quam afferunt aliqui, eſt;
quia ſi cum eadem velocita
te acquiſita in fine temporis dati ſine augmento nouo moueatur mobi
le; haud dubiè acquiret duplum ſpatium tempore æquali tempori dato;
v. g. ſit triangulum AFE; ſitque velocitas acquiſita EF in 4. parti
bus temporis AE, vt iam ſuprà dictum eſt, ne cogar repetere: certè ſi du
catur velocitas EF in tempus AE, vel EL æquale; habebitur rectan
gulum EK duplum trianguli AFE: ſed triangulum AFE eſt ſumma
ſpatiorum motus accelerati tempore AE, & rectangulum EK eſt ſum
ma ſpatiorum motus æquabilis cum velocitate EF; igitur duplum eſt
ſpatium motus æquabilis, quod erat demonſtrandum. Præterea ſi diui
datur velocitas EF, & eius ſubdupla ducatur in tempus AE; habebitur
rectangulum æquale triangulo AFE, vt conſtat. Reſpondeo facilè ex di
ctis, hoc ipſum etiam ex noſtra hypotheſi proxime ſequi; ſint enim duo
inſtantia; haud dubie ſi non creſcit velocitas, ſecundo inſtanti æquale
ſpatium percurretur; ſi vero ſecundo inſtanti creſcat, percurrentur illo
motu 3.ſpatia; & cùm velocitas ſecundi inſtantis ſit dupla velocitatis primi
inſtantis, primo inſtanti ſit 1.gradus v.g. ſecundo erunt 2. gradus; igi
tur moueatur per duo inſtantia motu æquabili veloci vt 2. percurrentur
4. ſpatia; igitur totum ſpatium, quod percurritur motu veloci vt 2. per
2.inſtantia eſt ad totum ſpatium, quod percurritur æquali tempore mo-
te acquiſita in fine temporis dati ſine augmento nouo moueatur mobi
le; haud dubiè acquiret duplum ſpatium tempore æquali tempori dato;
v. g. ſit triangulum AFE; ſitque velocitas acquiſita EF in 4. parti
bus temporis AE, vt iam ſuprà dictum eſt, ne cogar repetere: certè ſi du
catur velocitas EF in tempus AE, vel EL æquale; habebitur rectan
gulum EK duplum trianguli AFE: ſed triangulum AFE eſt ſumma
ſpatiorum motus accelerati tempore AE, & rectangulum EK eſt ſum
ma ſpatiorum motus æquabilis cum velocitate EF; igitur duplum eſt
ſpatium motus æquabilis, quod erat demonſtrandum. Præterea ſi diui
datur velocitas EF, & eius ſubdupla ducatur in tempus AE; habebitur
rectangulum æquale triangulo AFE, vt conſtat. Reſpondeo facilè ex di
ctis, hoc ipſum etiam ex noſtra hypotheſi proxime ſequi; ſint enim duo
inſtantia; haud dubie ſi non creſcit velocitas, ſecundo inſtanti æquale
ſpatium percurretur; ſi vero ſecundo inſtanti creſcat, percurrentur illo
motu 3.ſpatia; & cùm velocitas ſecundi inſtantis ſit dupla velocitatis primi
inſtantis, primo inſtanti ſit 1.gradus v.g. ſecundo erunt 2. gradus; igi
tur moueatur per duo inſtantia motu æquabili veloci vt 2. percurrentur
4. ſpatia; igitur totum ſpatium, quod percurritur motu veloci vt 2. per
2.inſtantia eſt ad totum ſpatium, quod percurritur æquali tempore mo-