Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="runhead"> Distinctio quarta. Capitulum </p>
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      E gli é una spera che contiene un .12. base pentagonali equilatero il cui lato éne bracia .1. Di-
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      mando che sia la superficie de tutto el .12. base pentagonali. Tu hai che nel corpo
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      de .12. base ogni basa éne pentagona ed esse ditto che uno di lati di questo pentago-
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      no è .4.bracia. e tu voi la superficie de questi .12. pentagoni. Trova prima la superficie de uno,
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      per li modi che de’ pentagoni piani te mostrai ala terza distinzione nel .6º. capitolo. Cioé tu sai, per la .9a. del
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      14o., che, multiplicando li .3/4. del diametro del cerchio, dove sia descripto tal pentagono, via li .5/6. dela
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      sua corda pentagonica, quel producto sia la superficie de tutto el pentagono. E noi, per piú facilitá, dire-
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      mo che se debbia multiplicare li .5/8. del diametro del ditto tondo via tutta la corda ditta e quello che
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      fará sirá la superficie del pentagono. Over torremo li .5/8. dela corda e multiplicarli via tutto el diametro
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      del ditto tondo, che tanto vale, perche è manco briga a togliere li rotti de una sola quantitá che torli
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      d’ ambedoi Ior et cetera. Donca, prima te conviene trovare la corda de ditto pentagono e anco trovare
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      el suo cerchio, per li modi e ve’ che nel suo luogo ó ditto ma, per men briga, habi sempre familia-
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      re apresso te un pentagono con tutte sue indigentie: cioé cerchio, lato, corda, exagono, decagono,
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      tondo intrinseco ed extrinseco et cetera. E, mediante quello, porrai retrovare de qualunche altro che te fosse
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      proposto, per via de proportioni, che sempre riescano. E cosí de triangoli, quadrati, octagoni, tondi et cetera.
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      E mai fallano. Donca habia apresso de te quello che mette Ptolomeo in el Almegesto che dici: quan-
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      do il lato del pentagono fosse .10. men .R.20. che ’l diametro del cerchio dove fosse descrinto se-
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      rebbe .R.16. Donca piglia li .5/8. de .16., ne ven .6 1/4. Peró dí: se .10. men .R.20. me dá .6 1/4., che me dará </p>
      <p class="main"> Reca .4. a .R., fa .16., poi multiplica .6 1/4. via .16., fa .100. e questo parti per .10. men .R.20. Trova el residuo
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      commo t’ ó mostro al suo luogo, nella arithmetica, e partirai, ne virrá aponto .12 1/2. piú .R.31 1/4. e tanto son-
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      no li .5/8. dela possanza del diametro del tondo che contenesse aponto una dele base del ditto .12.
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      base pentaganiche. Poi trova la corda del ditto pentagono. Tu fai che ’l suo lato è .4. e questo è
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      una parte de ditta corda, peró poni che l’ altra sia .1.co. Multiplica .1.co. via .4. piú .1.co., fa .4.co. piú .1.ce.
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      E multiplica .4. in sé, fa .16. E questo equale a .4.co. piú .1.ce. Parti e sequita, harai che la cosa varrá .R.20. men
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      .2. E questa é la menor parte, giognici .4., ch’ é la magior parte, fa .R.20. piú .2. e tanto sia tutta la dit-
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      ta corda, perché dici la .11a. del .13o. che, se la corda sia divisa secondo la proportione avente el mez-
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      zo, sempre la sua magiore parte sirá lato del pentagono. E peró te dissi lasú che .4. fo una par-
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      te de ditta corda. Poi, per trovare l’ altra, festi positione. Ma stu n’ avesse una nota, haresti sequito
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      per la regola del .3. e seri venuta ala prima et cetera. Ora multiplica .R.20. piú .2. in sé, fa .24. piú .R.320. il qual
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      multiplica via .12 1/2. piú .R.31 1/4., fa .400. piú .R.50000. piú .R.18000. e tanto è la superficie del’ una basa. E tu voi
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      de .12., donca multiplica .12. via .12., fa .144., poi fa .144. via .R.400. piú .R.50000. piú .R. 18000., fará
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      .R.57600. piú .R.720000. piú .R.216000. e tanto dirai che sia la superficie tutta del ditto corpo .12. base penta
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      gone che per lato suo sia .4. equilatero. Facta et cetera, cioé .R. dela summa, che fa la .R. de .1036800000.
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      e la .R. de .373248000. posta sopra .57600. et </p>
      <p class="main"> E gli é un .12. base pentagonali che il lato de ciascuna basa é .4. Dimando quanto sirá qua-
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      dro tutto el corpo. Prima trova el diametro dela spera dove tal corpo sia descrip-
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      to, cioé cosí. Tu hai, per la passata, che la linea che sotende al’ angolo pentagonico è .2
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      piú .R.20. e si hai che .2. piú .R.20. éne il lato del cubo descripto pure in tale spera, perché
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      sempre tanto è il lato del cubo quanto che la corda pentagonale in medesima spera locati, commo per
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      la .18a. del .14o. si manifesta. E fo ditto che la possanza del diametro era tripla al lato del cu-
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      bo, cioé ala possanza del lato del cubo locato in ditta spera. Adonca multiplica il lato del cubo, ch’ é .2.
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      piú .R.20., in sé, fa .24. piú .R.320. e tanto è la possanza del lato cubo. Ora triplala multiplicando per .3., fa
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      72. piú .R.2880. e tanto sia la possanza del diametro dela spera. Ora trova el diametro del circulo dove
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      è descripto una dele .12. base pentagonali al modo giá ditto: che il lato del pentagono era .10. men
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      .R.20., dava de diametro .4., che dará il lato ch’ é .4. Multiplica e parti per binomio, troverai che te dará .R. 204 4/5.
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      piú .32., siché dirai che ’l diametro del cerchio ambiente una dele base éne .32. piú .R. 204 4/5. Ora pi-
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      gliane la .1/2. de questi doi diametri, cioé .72. piú .R.2880., che quello dela spera è .32. piú .R.204 4/5. che è
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      quello del cerchio basale pentagono la .1/2. de .R.72. piú .R.2880. éne .R.18. piú .R.180. E la .1/2. de
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      .R.32. piú .R.204 4/5. éne .R.8. piú .R.12 4/5. Ora cava la possanza de .R.8. piú .R.12 4/5. dela possanza de
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      .R.18. piú .R.180. resta .18. piú .R.180. men .8. piú .R.12 4/5. Del qual piglia el .1/3., che ne virrá .2. piú .R.2 2/9. men
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      .8/9.
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      piú
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      .R.64/405. con lo qual hai a multiplicare la superficie del pentagono che il lato suo é .4. che hai, per la precedente, che l’
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      é in
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      tutto ditta superficie .57600. piú .R.1036800000. piú .R.373248000. Donca multiplica .2. via .57600., fará
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      .115200. Poi reca .2. a .R., fa .4., multiplica .4. via .103680000., fa .R. 4147200000. e .4. via
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      .373248000. fa .R.1492992000. che, gionte insiemi queste doi .R., cioé .R.4147200000. e
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      .R.1492992000. fanno una .R. de .16588800000. Ora reca a .R.57600., fa .3317760000., multiplica con
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      2 .2/9., fa .R.7372800000. e multiplica .2 2/9. via .1036800000., fa .R.2304000000., che é .48000. E multiplica
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