143137OPTICAE LIBER V.
22. Si reflexio fiat à peripheria circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum reflexionis &
ſpeculi ſphærici conuexi) inter rectam à uiſu ſpeculum tangentem, reflexionis puncto proxi-
mam, & lineam reflexionis æquãtem partem ſuam intra peripheriam eiuſdem ſemidiametro:
imago aliàs intra ſpeculum: aliàs in ſuperficie: aliàs extra uidebitur. 26 p 6. Item 27. 7 p 6.
ſpeculi ſphærici conuexi) inter rectam à uiſu ſpeculum tangentem, reflexionis puncto proxi-
mam, & lineam reflexionis æquãtem partem ſuam intra peripheriam eiuſdem ſemidiametro:
imago aliàs intra ſpeculum: aliàs in ſuperficie: aliàs extra uidebitur. 26 p 6. Item 27. 7 p 6.
AMplius:
ſumpto quocunque puncto arcus h b:
dico, quòd quędam eius imago erit intra ſpe
culum: quædam in ſuperficie ſpeculi: quædam extra ſpeculum. Sumatur aliquod eius pun-
ctum: & ſit n: & ducatur linea à pũcto g ſe-
52[Figure 52]g z f h a b d c q e k ſ r cans circulum, quæ ſit g n q: & ducatur perpen-
dicularis d n f: & [per 23 p 1] protrahatur linea,
æqualem angulum tenens cum perpendiculari,
angulo f n g: & ſit e n. Quoniam linea n q minor
eſt k h [per 15 p 3] eſt etiam minor linea q d [nã
h k poſita eſt æqualis ſemidiametro ſphæræ] &
ita [per 18 p 1] q d n angulus minor eſt angu-
lo d n q: quare [per 15 p 1] minor angulo g
n f: quare etiam minor angulo e n f: Igitur e n
& d q concurrent [ad partes e & q per 11 ax. ]
Sit ergo concurſus in puncto e. Palàm [per 25
n 4] quòd linea e q d eſt perpendicularis ſuper
ſphæram: & ſecat lineam g n q, quæ eſt linea re-
flexionis, in puncto q, quod eſt punctum ſphæ-
ræ. Quare imago puncti e, cum fuerit reflexio ſu-
per punctum n, apparebit in puncto q: [per 3 n]
& eſt in ſuperficie ſphæræ. Si uerò in linea n e ſu-
matur punctum ultra e, utpoter: perpẽdicularis
ducta ab eo ad centrum ſphæræ, quæ ſit r d, ſeca
bit lineam g n q reflexionis, ultra punctum q: &
eſt extra ſphæram. Quare imago cuiuslibet pun-
cti lineæ e n ultra e ſumpti, erit extra ſuperficiem
ſpeculi. Si uerò in linea e n, citra punctum e ſu-
matur aliquod punctum: perpendicularis ab eo
ducta ad ſpeculum, ſecabit lineam g n q intra ſphæram: quoniam in puncto, quod eſt inter n & q.
Quare imago cuiuslibet puncti lineæ e n inter e & n ſumpti, apparebit intra ſphæram. Eadem peni
tus erit probatio, ſumpto quocunque alio arcus b h puncto: & ita imago cuiuslibet puncti arcus
b h una ſola eſt imago in ſuperficie ſpeculi: aliarum quædam in ſpeculo: quædam extra. Et quod
demonſtratum eſt in arcu z b, eodem modo poteſt patére in arcu z a: & eadem penitus erit demon-
ſtratio, cuiuſcunque circuli ſphæræ ſumatur portio, uiſui oppoſita, à perpendiculari g d æqualiter
diuiſa. Vnde uiſu immoto, & perpendiculari g z d manente, ſi moueatur æquidiſtanter perpendi-
culari uiſus linea g h, ſecabit ex ſphæra motu ſuo portionem circularem: & cuiuslibet puncti hu-
ius portionis imago apparebit intra ſphæram. Si uerò linea g b contingens, moueatur æquidiſtan-
ter perpendiculari uiſus, ſecabit ex ſphæra portionem prædicta maiorem: & à quolibet puncto
excrementi unius portionis ſuper aliam reflectitur imago, cuius locus erit in ſuperficie ſphæ-
ræ: & aliarum quædam intra ſphæram: quædam extra. Scimus ex his, quòd in hoc ſpeculo quæli-
bet imago apparet in diametro ſphæræ: aut intra ſphærã: aut extra: aut in ſuperficie. Et omnis dia-
meter, in qua apparet imago aliqua in ſuperficie ſphæræ, aut extra, demiſsior eſt puncto ſphæræ,
quod tangit linea contingens à centro uiſus, ducta in ultimum punctum portionis apparentis. Sci
mus etiam, quòd quælibet linea reflexionis ſecat ſphæram in duobus punctis, in puncto reflexio-
nis, & in alio. Reſtatiam, ut loca imaginum certius determinemus.
culum: quædam in ſuperficie ſpeculi: quædam extra ſpeculum. Sumatur aliquod eius pun-
ctum: & ſit n: & ducatur linea à pũcto g ſe-
52[Figure 52]g z f h a b d c q e k ſ r cans circulum, quæ ſit g n q: & ducatur perpen-
dicularis d n f: & [per 23 p 1] protrahatur linea,
æqualem angulum tenens cum perpendiculari,
angulo f n g: & ſit e n. Quoniam linea n q minor
eſt k h [per 15 p 3] eſt etiam minor linea q d [nã
h k poſita eſt æqualis ſemidiametro ſphæræ] &
ita [per 18 p 1] q d n angulus minor eſt angu-
lo d n q: quare [per 15 p 1] minor angulo g
n f: quare etiam minor angulo e n f: Igitur e n
& d q concurrent [ad partes e & q per 11 ax. ]
Sit ergo concurſus in puncto e. Palàm [per 25
n 4] quòd linea e q d eſt perpendicularis ſuper
ſphæram: & ſecat lineam g n q, quæ eſt linea re-
flexionis, in puncto q, quod eſt punctum ſphæ-
ræ. Quare imago puncti e, cum fuerit reflexio ſu-
per punctum n, apparebit in puncto q: [per 3 n]
& eſt in ſuperficie ſphæræ. Si uerò in linea n e ſu-
matur punctum ultra e, utpoter: perpẽdicularis
ducta ab eo ad centrum ſphæræ, quæ ſit r d, ſeca
bit lineam g n q reflexionis, ultra punctum q: &
eſt extra ſphæram. Quare imago cuiuslibet pun-
cti lineæ e n ultra e ſumpti, erit extra ſuperficiem
ſpeculi. Si uerò in linea e n, citra punctum e ſu-
matur aliquod punctum: perpendicularis ab eo
ducta ad ſpeculum, ſecabit lineam g n q intra ſphæram: quoniam in puncto, quod eſt inter n & q.
Quare imago cuiuslibet puncti lineæ e n inter e & n ſumpti, apparebit intra ſphæram. Eadem peni
tus erit probatio, ſumpto quocunque alio arcus b h puncto: & ita imago cuiuslibet puncti arcus
b h una ſola eſt imago in ſuperficie ſpeculi: aliarum quædam in ſpeculo: quædam extra. Et quod
demonſtratum eſt in arcu z b, eodem modo poteſt patére in arcu z a: & eadem penitus erit demon-
ſtratio, cuiuſcunque circuli ſphæræ ſumatur portio, uiſui oppoſita, à perpendiculari g d æqualiter
diuiſa. Vnde uiſu immoto, & perpendiculari g z d manente, ſi moueatur æquidiſtanter perpendi-
culari uiſus linea g h, ſecabit ex ſphæra motu ſuo portionem circularem: & cuiuslibet puncti hu-
ius portionis imago apparebit intra ſphæram. Si uerò linea g b contingens, moueatur æquidiſtan-
ter perpendiculari uiſus, ſecabit ex ſphæra portionem prædicta maiorem: & à quolibet puncto
excrementi unius portionis ſuper aliam reflectitur imago, cuius locus erit in ſuperficie ſphæ-
ræ: & aliarum quædam intra ſphæram: quædam extra. Scimus ex his, quòd in hoc ſpeculo quæli-
bet imago apparet in diametro ſphæræ: aut intra ſphærã: aut extra: aut in ſuperficie. Et omnis dia-
meter, in qua apparet imago aliqua in ſuperficie ſphæræ, aut extra, demiſsior eſt puncto ſphæræ,
quod tangit linea contingens à centro uiſus, ducta in ultimum punctum portionis apparentis. Sci
mus etiam, quòd quælibet linea reflexionis ſecat ſphæram in duobus punctis, in puncto reflexio-
nis, & in alio. Reſtatiam, ut loca imaginum certius determinemus.
23. Si linea reflexionis ſecans diametrum ſpeculi ſphærici conuexi: æquet ſegmentum ſuum
inter ſpeculi ſuperficiem & dictam diametrum, ſegmento eiuſdem diametri contermino centro
ſpeculi: erit hoc ſegmentum imaginum expers. 28 p 6.
inter ſpeculi ſuperficiem & dictam diametrum, ſegmento eiuſdem diametri contermino centro
ſpeculi: erit hoc ſegmentum imaginum expers. 28 p 6.
DIco, quòd ſumpta diametro, ſi ad ipſam ducatur linea ſecans ſphæram à centro uiſus, cuius
pars interiacens punctum ſectionis ſphæræ & punctum diametri, quam attingit, eſt æqua-
lis parti diametri, interiacenti inter punctum illud & centrum: punctum illud non eſt locus
alicuius imaginis. Verbi gratia. ſit a g circulus ſphæræ: h uiſus: e d ſemidiameter ſphæræ, ſiue per-
pendicularis: & h z ſit linea ſecans ſphæram ſuper punctum f, & concurrens cum e d in puncto z: &
ſit z f æqualis z d. Dico, quòd z non eſt locus alicuius imaginis. Palàm enim, quòd nõ eſt locus i-
maginis alterius, quàm alicuius puncti lineæ e d: quoniam imago cuiuslibet puncti eſt ſuper dia-
metrum, ab eo ad centrum ſphæræ ductam [per 10 n. ] Et quòd locus imaginis alicuius puncti e d
non ſit in z: ſic conſtabit. Ducatur perpendicularis à puncto d ſuper punctum f: & ſit d f n: & [per
23 p 1] ſuper punctum f fiat angulus æqualis angulo n fh: & ſit q f n. Palàm ergo [per 15 p 1. 1 ax]
pars interiacens punctum ſectionis ſphæræ & punctum diametri, quam attingit, eſt æqua-
lis parti diametri, interiacenti inter punctum illud & centrum: punctum illud non eſt locus
alicuius imaginis. Verbi gratia. ſit a g circulus ſphæræ: h uiſus: e d ſemidiameter ſphæræ, ſiue per-
pendicularis: & h z ſit linea ſecans ſphæram ſuper punctum f, & concurrens cum e d in puncto z: &
ſit z f æqualis z d. Dico, quòd z non eſt locus alicuius imaginis. Palàm enim, quòd nõ eſt locus i-
maginis alterius, quàm alicuius puncti lineæ e d: quoniam imago cuiuslibet puncti eſt ſuper dia-
metrum, ab eo ad centrum ſphæræ ductam [per 10 n. ] Et quòd locus imaginis alicuius puncti e d
non ſit in z: ſic conſtabit. Ducatur perpendicularis à puncto d ſuper punctum f: & ſit d f n: & [per
23 p 1] ſuper punctum f fiat angulus æqualis angulo n fh: & ſit q f n. Palàm ergo [per 15 p 1. 1 ax]
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib