Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="runhead"> Distinctio octava. De Corporibus regularibus. </p>
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      recte inequali in tal modo che la magiore habia minore proportione ala minore che la superficie dela spera al cer-
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      chio .A. E sienno ditte linee .Bc.b. maior e .c. minor. Poi, fra queste, per la .9a. del .6o., trova la linea .d. media pro-
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      portionale. Poi sia una superficie piana che seghi ditta spera in doi parti e passi per lo centro de decta spera e sia decta
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      superficie piana el cerchio .efgh., el qual, de necessitá, sirá el magior cerchio che sia in spera. Poi in questo cerchio
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      imagina
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      una figura multiangola inscripta e una altra figura pur multiangola circunscripta simile ala prima inscripta, cioé
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      che ‘lati del’ una a ’lati del’ altra sienno proportionali e gli angoli di l’ una iguali ali angoli del’ altra, secondo
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      la diffinitione prima del .6o. E poni che il lato dela figura circunscripta al lato dela figura inscripta habia minor pro-
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      portione che .b. al .d. linee. Queste cose cosí disposte, arguesci in questa forma lo intento dicendo: la superficie dela
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      multiangola inscripta è minore che la superficie del cerchio. A, perché el cerchio .A. quadruplo al cerchio .efgh. nel qual
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      ditta multiangola è inscripta, perché gli é il maxino nele spera contenuto, perché la segha in centro, donca ma-
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      gior proportione ará la superficie dela spera ala inscrita multiangola che al cerchio .A. Donca la superficie multiangola al
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      ditto
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      cerchio cir-
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      cunscrita è minore che la proportione dela spera, perché ex ypotesi dala circunscrita ala inscrita é minore proportione
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      che da-
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      la superficie dela spera al cerchio .A., peroché foron posti i lati de ditte figure multiangole in tal modo che ’l la-
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      to dela circunscripta al lato dela inscripta havesse minor proportione che .b. al .d. E, per consequente, asa mol-
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      to minore che dal .b. al .c. e poi molto piú che dala spera al cercio .A. Diché sequita che, duplata la pro-
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      portione dal lato dela circunscripta al lato dela inscripta, sirá anche minore che duplata la proportione dal
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      .b. al .d., cioé dal .b. al .c., perché la proportione dal .b. al .c. è doppia ala proportione dal .b.d., per la .10a. diffinitione del
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      .5o. Ma la proportione della circunscripta piana ala inscripta piana é doppia ala proportione del lato dela cir-
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      cunscripta ala inscripta, per la .18a. del .6o., perché sonno figure simili. Ora ymagina doi figure solide multi-
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      angole facte de medesimi lati dela inscritta e circunscritta e che una sia dentro ala spera e l’ altra di fora, che li angoli
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      de-
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      le intrinseca tochino equaliter la pancia dentro e quella di fore le base tochino ditta spera aponto. Poi recogli tut-
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      ta la superficie dela figura solida circunscripta e anche recogli tutta la superficie dela figura solida inscripta. Sirá ancora
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      mi-
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      nore la proportione de tutta la superficie dela solida circunscripta a tutta la superficie dela solida iscripta che dal .b.
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      al .c., cioé che la doppia dal .b. al .d. è molto piú minore ancora che quella dela spera al cerchio .A. E sia
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      la intrinseca ala extrinseca de quante voi base, che pare siranno a numero lá dentro e lá di fore, havenga che non si
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      grandi parti. Ora, questo notato, dirai la superficie dela solida intrinseca tutta mai sirá quanto la superficie di tuta la
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      spera,
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      perché
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      abia quante face si voglia mai s’ aguaglia ala spera. Donca dirai che la superficie tutta dela solida circunscripta ará
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      magiore proportione al cerchio .A. che non haverá la spera al cercio .A., perché molto piú magiore é la superficie dela
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      multiangola circunscripta che la spera e, per consequente, magior proportione averá la superficie dela multiangola
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      ta ala multiangola inscripta che la spera a essa multiangola inscripta. Le qual cose fin qui serba in mente. Poi ar-
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      gumenta cosí: o la superficie tutta dela multiangola inscripta è magior o minor o uguale al cerchio .A. E sia qual vo-
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      glia, sequita lo inconveniente contra la ypotesi. Or sia prima la superficie tutta dela multiangola intrisica magior che ’l
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      .A., donca minore sia la proportione dala spera a essa che dala spera al cerchio .A. E pur magior nondimen sia an-
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      cor la proportione dela multiangola extrinsica ala multiangola intrinsica che dala spera ala intrinsica et ex unti magior si-
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      rá la proportione dela extrinsica al’ itrinsica che dala spera al cerchio .A. E giá prima avamo minore per la ypotesi ecco
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      contra al presupposto secondo non é ita, che la spera sia piú che .4. tanto dela superficie del maximo cerchio in lei
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      contenuto. El me-
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      desimo molto piú magior sequiri la proportione del’ estrinseca ala intrinsica che dala spera al cerchio .A., quando la in-
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      trinsica fosse equale al cerchio .A., over minor, arguendo commo finora é facto. Donca non è piú che .4. tanto. E an-
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      co, per le medesime vie, poi provare che non è manco che .4. tanto del ditto cerchio, ponendo ogni
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      cosa commo di sopra, excepto che ’l cerchio .A. sia magior che la spera, mediante ditte linee proportionali
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      e figure multiangole intrinseca e extrinseca et cetera. Nota che tal proportione è da una superficie multiangola a un’ al-
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      tra multiangola simili, descripte intra doi cerchi, qual è dal quadrato de’ diametri de’ lor cerchi uno al’ altro, per la
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      prima del .12o. Le simili s’ intendeno, commo è ditto in principio del .6o., d’ angoli iguali e lati che li contengono pro-
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      portonali a’ sui relativi. E ancora de ponto la superficie dela spera, per ditto archi, quanto la superficia d’ un qua-
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      drangolo ortogonio che sia contenuto sotto linee equali al diametro dela spera e ala circunferentia del ma-
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      ximo cerchio in lei contento. Commo sia il diametro dela spera .7., la circunferentia del magiore cerchio sia .22. Don-
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      ca il quadrangolo a lei equale sia longo .22. e largo .7. e possiede .154. che è il medesimo che habiam mostro.
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      E questo havene perché tal quadrangolo sia composto dela superficie de ponto di .4. cerchi. maximi dela spera commo
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      sopra è detto. Del modo a far li stagiuoli e tavola de scemi in ogni luogo.
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      Parrá forse al pratico geometra che, in questo trattato de geometria, al suo bisogno, io sia stato di
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      minuto. Conciosiaché al suo principal desiderio, qual è de sapere ben con tuta diligentia me-
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      surare el tenuto d’ una botte e anche el suo scemo. E anche, per tutti ’luoghi, fabricar-
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      se i stagiuoli a sue occurentie dele prime non l’ abia suvenuto. Diché, qui sequente, el bastante a ció intendo
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      dire. Sappi che, de tutte le mesure geometriche, quella dela botte è difficile e del scemo difficili-
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      sima, peroché, se finora d’ una figura semplici plana circulare non s’ á per li antichi e moderni philosophy aponto
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      sua quadratura e manco dele sue portioni, molto magiormente sia ascosta la demensione circulare
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