149111DE MATHÉMATIQUE. Liv. II.
Seconde démonstration.
203.
Puiſque l’on a a.
b :
: c.
d, à cauſe de l’égalité des rap-
ports {a/b}, {c/d}; ſi l’on ſuppoſe que {a/b} = f, on aura auſſi {c/d}=f. Mul-
tipliant chaque membre de la premiere égalité par b, on aura
{ab/b} = bf, ou a = bf; multipliant chaque membre de la ſe-
conde égalité par d, on aura {cd/d} = df, ou c = df: donc en
mettant dans la proportion a. b : : c. d à la place de a & de c
ſur valeurs bf & df, on aura bf : b : : df : d, ou le produit des
extrêmes eſt égal à celui des moyens, puiſque l’un & l’autre
donne également bdf.
ports {a/b}, {c/d}; ſi l’on ſuppoſe que {a/b} = f, on aura auſſi {c/d}=f. Mul-
tipliant chaque membre de la premiere égalité par b, on aura
{ab/b} = bf, ou a = bf; multipliant chaque membre de la ſe-
conde égalité par d, on aura {cd/d} = df, ou c = df: donc en
mettant dans la proportion a. b : : c. d à la place de a & de c
ſur valeurs bf & df, on aura bf : b : : df : d, ou le produit des
extrêmes eſt égal à celui des moyens, puiſque l’un & l’autre
donne également bdf.
Troisieme démonstration.
204.
Suppoſons qu’au lieu de la proportion a.
b :
: c.
d on
me donne celle-ci 12. 6 : : 4. 2; il faut démontrer pour quelle
raiſon le produit des moyens 6 x 4 eſt égal au produit des ex-
trêmes 12 x 2. Pour cela je fais attention que 12 étant double
de 6; ſi je viens à multiplier 12 & 6 par le même nombre 4,
le produit de 12 par 4 ſera double du produit de 6 par le même
nombre 4; mais ſi au lieu de multiplier 2 par 4, je multiplie
ce nombre par un autre, qui ne ſoit que la moitié de 4, il eſt
néceſſaire que le produit devienne la moitié de celui de 12 par
4: donc il ſera égal à celui de 6 par 4, puiſqu’il perd autant
du côté du multiplicateur 2, que le nombre 6 gagne par ſon
multiplicateur 4. En un mot, 6 n’eſt que la moitié de 12; mais
par la nature de la proportion, il a un multiplicateur double
de celui de 12, ce qui fait une compenſation parfaite. On peut
appliquer ce raiſonnement à tel autre rapport que ce ſoit, ſoit
numérique, ſoit algébrique. Ainſi notre démonſtration eſt
générale, parce qu’elle ne dépend pas de l’exemple auquel elle
eſt appliquée, mais de l’univerſalité des principes ſur leſquels
elle eſt fondée.
me donne celle-ci 12. 6 : : 4. 2; il faut démontrer pour quelle
raiſon le produit des moyens 6 x 4 eſt égal au produit des ex-
trêmes 12 x 2. Pour cela je fais attention que 12 étant double
de 6; ſi je viens à multiplier 12 & 6 par le même nombre 4,
le produit de 12 par 4 ſera double du produit de 6 par le même
nombre 4; mais ſi au lieu de multiplier 2 par 4, je multiplie
ce nombre par un autre, qui ne ſoit que la moitié de 4, il eſt
néceſſaire que le produit devienne la moitié de celui de 12 par
4: donc il ſera égal à celui de 6 par 4, puiſqu’il perd autant
du côté du multiplicateur 2, que le nombre 6 gagne par ſon
multiplicateur 4. En un mot, 6 n’eſt que la moitié de 12; mais
par la nature de la proportion, il a un multiplicateur double
de celui de 12, ce qui fait une compenſation parfaite. On peut
appliquer ce raiſonnement à tel autre rapport que ce ſoit, ſoit
numérique, ſoit algébrique. Ainſi notre démonſtration eſt
générale, parce qu’elle ne dépend pas de l’exemple auquel elle
eſt appliquée, mais de l’univerſalité des principes ſur leſquels
elle eſt fondée.
Corollaire I.
205.
Il ſuit de cette propoſition, que dans une proportion
géométrique continue, le produit des extrêmes eſt égalau quarré
du terme moyen: car ſi l’on a {. ./. .} a. b. c, ou bien a. b : : b: c,
on aura ac = bb.
géométrique continue, le produit des extrêmes eſt égalau quarré
du terme moyen: car ſi l’on a {. ./. .} a. b. c, ou bien a. b : : b: c,
on aura ac = bb.
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