1quemadmodum ratio quæcunque triplicata, quadruplicata, &c.
eſt ratio quæcunque ſimplex bis, ter &c. repetita, ſeu ter,
quater continuè ſumpta. Exemplum. Inter 2 & 1 reperitur
ratio dupla; hæc ratio ſi ſemel repetatur, ſeu adhuc ſemel
accipiatur, hoc eſt, ſi bis continuè ſumatur hoc modo, 4,
2, 1; erit inter 4 & 1 ratio ſeu proportio duplicata illius pro
portionis, quæ eſt inter 2 & 1, quandoquidem inter 4 & 1
reperitur ratio dupla ſemel repetita, ſeu bis continuè
ſumpta, hoc eſt, duplicata, ſcilicet ſemel inter 4 & 2, & ite
rum inter 2 & 1. Similiter inter 8 & 1 eſt ratio triplicata il
lius, quæ eſt inter 2 & 1, quia inter 8 & 1, intercedit ter
ratio dupla, nempe 8 ad 4, 4 ad 2, 2 ad 1. Sic 16 ad 1 ha
bet rationem quadruplicatam, & 32 ad 1 rationem quintu
plicatam rationis illius, quam habet 2 ad 1. Aliud exemplum.
Inter 6 ad 4 reperitur ratio ſeſquialtera ſimplex; hæc ratio
duplicatur, ſi adhuc ſemel repetatur, ſeu ſi bis continuè ſuma
tur, ut apparet in his numeris 9, 6, 4: nam quia ut 6 ad 4,
ita 9 ad 6; ideo inter 9 & 4 bis reperitur ratio ſeſquialtera.
Si verò eadem ratio ſeſquialtera bis repetatur, ſeu ter conti
nuè ponatur; erit inter extremos terminos ratio ſeſqui altera
triplicata, ut apparet in his numeris, 13 1/4, 9, 6, 4; quam pro
portionem abſque fractione habebis, ſi duplicaveris hoſce
numeros ſic, 27, 18, 12, 8: nam ut 12 continet 8 ſemel cum
dimidio, ita 18 continet 12 ſemel cum dimidio, & 27 etiam
continet 18 ſemel cum dimidio.
eſt ratio quæcunque ſimplex bis, ter &c. repetita, ſeu ter,
quater continuè ſumpta. Exemplum. Inter 2 & 1 reperitur
ratio dupla; hæc ratio ſi ſemel repetatur, ſeu adhuc ſemel
accipiatur, hoc eſt, ſi bis continuè ſumatur hoc modo, 4,
2, 1; erit inter 4 & 1 ratio ſeu proportio duplicata illius pro
portionis, quæ eſt inter 2 & 1, quandoquidem inter 4 & 1
reperitur ratio dupla ſemel repetita, ſeu bis continuè
ſumpta, hoc eſt, duplicata, ſcilicet ſemel inter 4 & 2, & ite
rum inter 2 & 1. Similiter inter 8 & 1 eſt ratio triplicata il
lius, quæ eſt inter 2 & 1, quia inter 8 & 1, intercedit ter
ratio dupla, nempe 8 ad 4, 4 ad 2, 2 ad 1. Sic 16 ad 1 ha
bet rationem quadruplicatam, & 32 ad 1 rationem quintu
plicatam rationis illius, quam habet 2 ad 1. Aliud exemplum.
Inter 6 ad 4 reperitur ratio ſeſquialtera ſimplex; hæc ratio
duplicatur, ſi adhuc ſemel repetatur, ſeu ſi bis continuè ſuma
tur, ut apparet in his numeris 9, 6, 4: nam quia ut 6 ad 4,
ita 9 ad 6; ideo inter 9 & 4 bis reperitur ratio ſeſquialtera.
Si verò eadem ratio ſeſquialtera bis repetatur, ſeu ter conti
nuè ponatur; erit inter extremos terminos ratio ſeſqui altera
triplicata, ut apparet in his numeris, 13 1/4, 9, 6, 4; quam pro
portionem abſque fractione habebis, ſi duplicaveris hoſce
numeros ſic, 27, 18, 12, 8: nam ut 12 continet 8 ſemel cum
dimidio, ita 18 continet 12 ſemel cum dimidio, & 27 etiam
continet 18 ſemel cum dimidio.
Ex ratione duplicata, triplicata, quadruplicata, &c. facilè
intelligitur ratio ſubduplicata, ſubtriplicata, ſubquadruplica
ta, &c. Nam per rationem ſubduplicatam intelligimus dimidium
rationis duplicatæ. Verbi gratia, 4 ad 1 habet rationem dupli
catam rationis duplæ; 2 ad 1, aut 4 ad 2, conſtituunt dimidium
rationis 4 ad 1; ideo 2 ad 1, & 4 ad 2, habent rationem ſub
duplicatam. Similiter 9 ad 4 habet rationem duplicatam
rationis ſeſquialteræ; dimidium talis rationis eſt 9 ad 6, vel
6 ad 4; ideo 9 ad 6, & 6 ad 4 habent rationem ſubduplica
tam prædictæ rationis ſeſquialteræ.
intelligitur ratio ſubduplicata, ſubtriplicata, ſubquadruplica
ta, &c. Nam per rationem ſubduplicatam intelligimus dimidium
rationis duplicatæ. Verbi gratia, 4 ad 1 habet rationem dupli
catam rationis duplæ; 2 ad 1, aut 4 ad 2, conſtituunt dimidium
rationis 4 ad 1; ideo 2 ad 1, & 4 ad 2, habent rationem ſub
duplicatam. Similiter 9 ad 4 habet rationem duplicatam
rationis ſeſquialteræ; dimidium talis rationis eſt 9 ad 6, vel
6 ad 4; ideo 9 ad 6, & 6 ad 4 habent rationem ſubduplica
tam prædictæ rationis ſeſquialteræ.