Pacioli, Luca, Tractatus geometrie (Part II of Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita), 1494

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      <p class="folio"> folio </p>
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      <p class="runhead"> Distinctio prima. Capitulum septimum. </p>
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      perpendiculari, menise la linea che sia perpendiculare dal puncto .b. e sia .ae. e caggia di fuora in
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      sul puncto .a. e sia .ag. continuati con .gd., sará adunque nel triangolo .bag.2. angoli retti, imperoché
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      l’ angolo .g. del triangolo .abg. è retto, imperoché così si pose. Onde e .3. angoli del triangolo
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      .abg. sonno magiori di .2. retti, che è impossibile per la .32a. del primo. Ancora, quando il catetto ca-
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      desse dentro, se n’ andrebbe nel predetto errore, imperoché nel triangolo .bge. farebbe .2. ango-
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      li retti. E peró ne’ fuora ne’ dentro puó cadere. Onde, per necessitá, cadrá in sulla detta linea e fará
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      una con quella, anzi quella medesima. E, similmente, se dal’ angolo .d. si muove la perpendiculare so-
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      pra la faccia .bg., sará per quel medesimo la detta perpendiculare .dg. E così abbi a mente in simili.
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      Dal minore angolo del triangolo oxigonio una perpendiculare menata cade
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      dentro al triangolo. Exempli causa: sia il triangolo oxigonio .abg., del quale l’ an-
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      golo .a. sia minore. Dico che, se dal’ angolo .a. si mena la perpendiculare insino al la-
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      to .bg., cadrá dentro al triangolo. E, se possibil fusse (per l’ aversario), caggia di fo-
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      ri sopra il puncto .d. E, perché .ad. é catetto, sará l’ angolo .adb. retto e l’ angolo .abd. è maggiore
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      che ’l retto, imperoché, per la .32a. del primo, e gli é iguali hai .2. angoli .a. e .g. del triangolo .agb. E, per-
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      che ciascuno degli angoli del triangolo .agb. è minore che ’l retto (ex ypotesi), e peró e .2. ango-
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      li .a. e .g. sono magiori che ’l retto. E peró nel triangolo .adb. v’ é uno angolo retto e uno magio-
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      re che ’l retto, ch’ é impossibile. Conciosiacosaché ogni triangolo sia soluto in .2. angoli retti.
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      E peró cadrá dentro.
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      E, similmente, se dal’ angolo ampio del triangolo ampligonio si mena la perpendi-
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      culare, quella cadrá dentro. Comme sia il triangolo ampligonio .abg., del quale l’ an-
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      golo .a. sia obtuso. Dico che la perpendiculare menata dal puncto .a. ala linea .bg.
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      cadrá dentro. E, se possibile sia (per l’ aversario), caggia di fuora in sul puncto .e. de-
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      la linea .gbe. Dove l’ angolo .abe. é magiore di .2. angoli .a. e .g. separati del triangolo .abg. per
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      la .16a. del primo. E peró nel triangolo .abe. v’ é uno angolo obtuso e uno retto, che è impossibile per
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      la .17a. del primo. Adunque cadrá dentro al triangolo
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      E, menando la perpendiculare da ciascuno degli altri angoli acuti al lato oposto
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      al detto angolo, quella perpendiculare cadrá di fuori. Comme sia il triangolo ampli-
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      gonio .bgd. havente l’ angolo .d. obtuso. Dico che, se dal’ angolo .b. si mena la perpen-
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      diculare sopra lo lato .bg., che la detta perpendiculare cadrá di fuori del detto trian-
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      golo. E, se fosse possibile cadesse dentro (per laversario), caggia in sul puncto .a. Onde segui-
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      tarebbe nel triangolo .bad. essere .2. angoli, uno retto e uno magiore che ’l retto, imperoché l’ an-
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      golo .a. è retto e l’ angolo .d. è obtuso (ex ypotesi). E peró è inconveniente e cosa impossibile e que-
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      sto se doveva </p>
      <p class="main"> Se in .2. linee contenenti uno angolo un’ altra linea retta si meni, la quale seghi ambe-
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      dui le dette linee, dala mitá dela linea che è in mezo dele sectioni si segni uno pun-
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      cto e da quel puncto una linea si meniinfino al’ angolo che è contenuto da quelle li-
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      nee, la qual linea sia iguale ala mitá dela linea, la quale è infra le .2. Allora l’ angolo
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      dato è retto. Comme sia la linea .ab. e .gb. che contenghino l’ angolo .b. e dal punto .e. (posto ne-
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      la linea .gb) si meni un’ altra linea infino al puncto .d. posto nella linea .ab. E sia la linea .hed.
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      E nel puncto .z. che sia la mitá dela linea .ed. si meni la linea .zb. la qual se lla è iguale ala linea
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      .ze., alora l’ angolo .b. è retto. E, quando la linea .ze. fosse magiore che la linea .zb., alora l’ ango-
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      lo .b. è obtuso. E, quando la linea .zb. è minore che la linea .ze., alora l’ angolo .b. è acuto. Comme per
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      la .30a. del terzo d’ Euclide </p>
      <p class="main"> Questo detto, è da sapere che, a volere l’ area d’ una figura di lati equedistanti e canti
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      retti, che la diciamo quadrilatero over paralello d’ angoli retti, è da multiplicare l’ uno
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      lato per l’ altro a quello contiguo. Comme a dire: e gli é un paralello d’ angoli retti longo .10.
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      bracia e largo .8.bracia. Dico che, a volere l’ area, multiplicarai .10. via .8., fanno
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      .80. e .80.bracia quadre è la detta figura. E questo, comme facemmo nel quadrato, si puó chiari-
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      re, ma non bisogna. Ora ritorniamo a’ triangoli.
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      <p class="main"> Comme habiamo detto e sono di .3. maniere triangoli: cioé ortogonii, oxigoni e
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      ampligonii. Dove, per ordine dovendo dire, diremo prima il modo di trovare l’ area de’
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      triangoli ortogonii e poi degli oxigonii e poi degli ampligonii, comme vedrai.
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      Li triangoli ortogonii sonno alcuna volta di .2. lati iguali e alcuna volta di .3. lati. non
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      iguali. E, comme è detto, l’ area di ciascuno triangolo s’ à dela multiplicatione dela mitá del
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      catetto in tutta la basa o dela mitá dela basa in tutto il catetto, la qual cosa faremo chiara.
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      Sia il triangolo ortogonio di .2. lati iguali .abg. e sia .ab. e .bg. ciascun .10.bracia, dove
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