151145OPTICAE LIBER V.
ducatur æquidiſtans lineæ h m:
quæ ſit z n:
quæ quidem ſecabit h l [per lemma Procli ad 29 p 1] &
à puncto z ducatur æquidiſtans h l: quæ ſit z t: & ſecet h m in puncto t: & à puncto t ducatur ſectio
pyramidis t p, quam aſsignauit Apollonius in libro pyramidum [4 th 2: ] quæ quidem ſectio non
continget aliquam linearum z n, h l, inter quas iacet. Similiter fiat ſectio pyramidis ei oppoſita
inter eaſdem lineas: quæ ſit c u. Cum igitur li-
69[Figure 69]a g e b d70[Figure 70]h n t f x q c u p m z ſ nea minima ex lineis à puncto t ad ſectionem
c u ductis, fuerit æqualis diametro b g: circu-
lus factus ſecundum hanc minimam lineam,
poſito pede circini ſuper punctum t: contin-
get ſectionem c u. Si uerò minima ex lineis à
puncto t ad ſectionem c u ductis, fuerit minor
diametro b g: circulus factus modo prædicto
ſecundum quãtitatem b g, ſecabit ſectionem
in duobus punctis. Sit ergo t c minima, & æ-
qualis diametro b g: quæ quidem ſecabit z n
& h l: cum ducatur ad ſectionem, quæ inter
eas interiacet: & [per 31 p 1] ducatur à puncto
z æ quidiſtans huic: quæ quidem ſecabit h m,
h l [per lemma Procli ad 29 p 1] ſicut ſua ęqui
diſtans t c. Secet ergo in punctis m l: & ſit m z
l: & punctum ſectionis, in quo t c ſecat z n, ſit
q: & [per 23 p 1] ſuper diametrum g b fiat an-
gulus ęqualis angulo h l m: qui ſit d g b, & du-
cantur lineę duę a d, d b. Palàm ergo, cũ [per
31 p 3] angulus g a b ſit rectus: alij duo anguli
trianguli a g b ualent rectũ [per 32 p 1. ] Quare
angulus l h m eſt rectus: [conſtat enim è duo-
bus angulis per fabricationẽ ęqualib. angulis
a g b, a b g rectũ ęquantibus] & eſt æqualis an
gulo g d b: & [per fabricationem] angulus h l
m eſt æqualis angulo d g b: Igitur [per 32 p 1]
tertius tertio: & triangulum ſimile triangulo
[per 4 p. 1 d 6. ] Quare ꝓportio b g ad b d eſt,
ſicut l m ad m h. Sed quoniam [per 27 p 3] angulus a d b æqualis eſt angulo b g a: quia cadunt in
eundem arcum: & angulus b g a æqualis angulo m h z: [per fabricationem] eſt ergo [per 1 ax. ] an-
gulus a d b æqualis angulo m h z. Et iam habemus, quòd angulus d b g eſt æqualis angulo h m z. I-
gitur [per 32 p 1] tertius tertio: & triangulum d e b ſimile triangulo m h z. [per 4 p. 1 d 6] Sit autem
e punctum, in quo linea a d ſecat diametrum b g. Igitur proportio b d ad d e, ſicut m h ad h z. Verùm
Apollonius [16 th 2] probat: quòd cum fuerint duæ ſectiones oppoſitæ, & producatur linea à ſe-
ctione ad aliam: pars eius, quæ interiacet inter unam ſectionẽ, & unam ex lineis, eſt ęqualis alij par-
ti, quæ interiacet inter aliam ſectionem, & aliam lineam. Quare q t æqualis eſt c f. Sed [per 34 p 1] t
q eſt æqualis m z: cum ſit illi æquidiſtans, inter duas æquidiſtantes. Igitur [per 1 ax. ] m z æqualis f
c: & [per 34 p 1] z l æqualis t f. Igitur [per 2 ax. ] m l æqualis t c. Quare proportio t c ad h z, ſicut m
l ad h z. [per 7 p 5] Quare proportio g b ad e d, ſicut t c ad h z. [demõſtratũ enim eſt, ut g b ad b d, ſic
l m ad m h: item ut b d ad d e, ſic m h ad h z: ergo per 22 p 5, ut g b ad d e, ſic l m ad h z: ſed ut l m ad h
z, ſic t c a d h z: quare per 11 p 5 ut g b ad d e, ſic t c ad h z. ] Et cum t c ſit æqualis b g [ex theſi] erit [per
14 p 5] e d æqualis h z. Quod eſt propoſitum. Si autem lineat c ad ſectionem c u ducta, & minima:
fuerit minor diametro b g: producatur ultra ſectionem, donec ſit æqualis, & ſecundum quantitatẽ
eius fiat circulus: qui quidem circulus ſecabit ſectionem in duobus punctis: à quibus lineæ ductæ
ad t, erunt æquales b g: [per 15 d 1] & à puncto z ducatur ęquidiſtãs utriq. Et tunc erit ducere à pun
cto a modo prædicto duas lineas, æquales lineæ datæ: eritq́; idem penitus probandi modus.
à puncto z ducatur æquidiſtans h l: quæ ſit z t: & ſecet h m in puncto t: & à puncto t ducatur ſectio
pyramidis t p, quam aſsignauit Apollonius in libro pyramidum [4 th 2: ] quæ quidem ſectio non
continget aliquam linearum z n, h l, inter quas iacet. Similiter fiat ſectio pyramidis ei oppoſita
inter eaſdem lineas: quæ ſit c u. Cum igitur li-
69[Figure 69]a g e b d70[Figure 70]h n t f x q c u p m z ſ nea minima ex lineis à puncto t ad ſectionem
c u ductis, fuerit æqualis diametro b g: circu-
lus factus ſecundum hanc minimam lineam,
poſito pede circini ſuper punctum t: contin-
get ſectionem c u. Si uerò minima ex lineis à
puncto t ad ſectionem c u ductis, fuerit minor
diametro b g: circulus factus modo prædicto
ſecundum quãtitatem b g, ſecabit ſectionem
in duobus punctis. Sit ergo t c minima, & æ-
qualis diametro b g: quæ quidem ſecabit z n
& h l: cum ducatur ad ſectionem, quæ inter
eas interiacet: & [per 31 p 1] ducatur à puncto
z æ quidiſtans huic: quæ quidem ſecabit h m,
h l [per lemma Procli ad 29 p 1] ſicut ſua ęqui
diſtans t c. Secet ergo in punctis m l: & ſit m z
l: & punctum ſectionis, in quo t c ſecat z n, ſit
q: & [per 23 p 1] ſuper diametrum g b fiat an-
gulus ęqualis angulo h l m: qui ſit d g b, & du-
cantur lineę duę a d, d b. Palàm ergo, cũ [per
31 p 3] angulus g a b ſit rectus: alij duo anguli
trianguli a g b ualent rectũ [per 32 p 1. ] Quare
angulus l h m eſt rectus: [conſtat enim è duo-
bus angulis per fabricationẽ ęqualib. angulis
a g b, a b g rectũ ęquantibus] & eſt æqualis an
gulo g d b: & [per fabricationem] angulus h l
m eſt æqualis angulo d g b: Igitur [per 32 p 1]
tertius tertio: & triangulum ſimile triangulo
[per 4 p. 1 d 6. ] Quare ꝓportio b g ad b d eſt,
ſicut l m ad m h. Sed quoniam [per 27 p 3] angulus a d b æqualis eſt angulo b g a: quia cadunt in
eundem arcum: & angulus b g a æqualis angulo m h z: [per fabricationem] eſt ergo [per 1 ax. ] an-
gulus a d b æqualis angulo m h z. Et iam habemus, quòd angulus d b g eſt æqualis angulo h m z. I-
gitur [per 32 p 1] tertius tertio: & triangulum d e b ſimile triangulo m h z. [per 4 p. 1 d 6] Sit autem
e punctum, in quo linea a d ſecat diametrum b g. Igitur proportio b d ad d e, ſicut m h ad h z. Verùm
Apollonius [16 th 2] probat: quòd cum fuerint duæ ſectiones oppoſitæ, & producatur linea à ſe-
ctione ad aliam: pars eius, quæ interiacet inter unam ſectionẽ, & unam ex lineis, eſt ęqualis alij par-
ti, quæ interiacet inter aliam ſectionem, & aliam lineam. Quare q t æqualis eſt c f. Sed [per 34 p 1] t
q eſt æqualis m z: cum ſit illi æquidiſtans, inter duas æquidiſtantes. Igitur [per 1 ax. ] m z æqualis f
c: & [per 34 p 1] z l æqualis t f. Igitur [per 2 ax. ] m l æqualis t c. Quare proportio t c ad h z, ſicut m
l ad h z. [per 7 p 5] Quare proportio g b ad e d, ſicut t c ad h z. [demõſtratũ enim eſt, ut g b ad b d, ſic
l m ad m h: item ut b d ad d e, ſic m h ad h z: ergo per 22 p 5, ut g b ad d e, ſic l m ad h z: ſed ut l m ad h
z, ſic t c a d h z: quare per 11 p 5 ut g b ad d e, ſic t c ad h z. ] Et cum t c ſit æqualis b g [ex theſi] erit [per
14 p 5] e d æqualis h z. Quod eſt propoſitum. Si autem lineat c ad ſectionem c u ducta, & minima:
fuerit minor diametro b g: producatur ultra ſectionem, donec ſit æqualis, & ſecundum quantitatẽ
eius fiat circulus: qui quidem circulus ſecabit ſectionem in duobus punctis: à quibus lineæ ductæ
ad t, erunt æquales b g: [per 15 d 1] & à puncto z ducatur ęquidiſtãs utriq. Et tunc erit ducere à pun
cto a modo prædicto duas lineas, æquales lineæ datæ: eritq́; idem penitus probandi modus.
35. À puncto dato in altero laterum trianguli rectanguli angulum rectum continẽtium,
ducere per lat{us} angulo recto oppoſitum, rectam, cui{us} ſegmentum conterminum reliquo late-
ri infinito, habeat ad ſegmentum lateris angulo recto oppoſiti, conterminum primo lateri, ratio
nem in duab{us} rectis datam. 134 p 1.
ducere per lat{us} angulo recto oppoſitum, rectam, cui{us} ſegmentum conterminum reliquo late-
ri infinito, habeat ad ſegmentum lateris angulo recto oppoſiti, conterminum primo lateri, ratio
nem in duab{us} rectis datam. 134 p 1.
AMplius:
dato triangulo orthogonio, & dato puncto in uno laterum angulum rectum conti-
nentium, eſt ducere à puncto illo lineam, ad aliud laterum continentium rectum, ſecantem
tertium oppoſitum recto, ita ut pars huius lineę interiacens interpunctum ſectionis & latus,
in quo non eſt punctum datum, ſe habeat ad partem lateris oppoſiti recto, quæ eſt de ſectione ad la
tus, in quo eſt punctum datum, ſicut data linea ad datam lineam. Verbi gratia: eſt triangulum datũ
a b g, cuius angulus a b g rectus: & in latere g b eſt punctum datum d, extra triangulum, aut intra. Di
co, quòd à puncto d eſt ducere lineam, ſecantem latus a g, & concurrentem cum latere a b: ita ut
nentium, eſt ducere à puncto illo lineam, ad aliud laterum continentium rectum, ſecantem
tertium oppoſitum recto, ita ut pars huius lineę interiacens interpunctum ſectionis & latus,
in quo non eſt punctum datum, ſe habeat ad partem lateris oppoſiti recto, quæ eſt de ſectione ad la
tus, in quo eſt punctum datum, ſicut data linea ad datam lineam. Verbi gratia: eſt triangulum datũ
a b g, cuius angulus a b g rectus: & in latere g b eſt punctum datum d, extra triangulum, aut intra. Di
co, quòd à puncto d eſt ducere lineam, ſecantem latus a g, & concurrentem cum latere a b: ita ut