152146ALHAZEN
pars eius interiacens inter latera a b, a g, ſit eius proportionis ad partem lateris a g, quæ eſt ab illa li-
nea uſq; ad punctum g, ſicut ſe habet e ad z, quæ ſunt datę lineæ. Sit punctum d in ipſo triangulo
a b g: & [per 31 p 1] ducatur ab eo linea æquidiſtans a b: quæ ſit d m: & [per 5 p 4] ſuper tria puncta
g, m, d fiat circulus: & protrahatur linea a d. Quoniam [per 29 p 1]
71[Figure 71]q ſ a e z h a t d m c b d g n planum eſt, quòd angulus g m d eſt æqualis angulo g a b: erit [per
9 ax. ] maior g a d. Secetur ex eo æqualis per lineam m n: & ſit d n
m: & ſit [per 12 p 6] h linea, ad quam ſe habeat a d, ſicut ſe habet e
ad z: & à puncto n, quod eſt punctum circuli, ducatur linea ad dia-
metrum g m æqualis lineæ h, ſecundum ſuprà dicta [32 uel 33 n] &
ſit n l: [ita ut ſegmentum l c inter continuatam diametrum & peri
pheriam æquetur lineæ h] & punctum, in quo ſecat circulum, ſit c:
& ducatur linea g c: & à puncto d ducatur linea ad punctum c: quę,
cum cadat inter duas æquidiſtantes, tenens angulum acutum cum
altera, ſi producatur, neceſſariò concurret cum alia [per lẽma Pro-
cli ad 29 p 1. ] Cõcurrat igitur: & ſit punctum concurſus q. Planum
[per 27 p 3] quòd angulus g m d eſt æqualis angulo g c d: quia ca-
dunt in eundem arcum: & [per 29 p 1] angulus g m d eſt æqualis
angulo g a b: reſtat igitur [per 1 ax. 13 p 1. 3 ax. ] ut angulus g c q ſit
æqualis angulo g a q. Sit t punctum, in quo d q ſecat a g: & [per 15
p 1] angulus g t c eſt æqualis angulo a t q: igitur [per 32 p 1] tertius
tertio. Quare triangulum a t q ſimile triangulo t c g [per 4 p. 1 d 6. ]
Igitur proportio q t ad t g, ſicut a t ad t c. Verùm [per fabricationẽ]
angulus n m d eſt æqualis angulo t a d: & [per 27 p 3] angulo n c d
[id eſt per 15 p 1 angulo l c t. ] Quare [per 1 ax. ] l c t æqualis t a d: & angulus c t l communis duobus
triangulis: quare [per 32 p 1] tertius tertio: & triangulum ſimile triangulo, ſcilicet t l c triangulot
a d [per 4 p. 1 d 6. ] Igitur proportio t a ad t c, ſicut proportio a d ad l c. Quare [per 11 p 5] proportio
a d ad l c, ſicut q t ad t g [patuit enim, ut q t ad t g, ſic a t ad t c. ] Sed [per fabricationem] l c eſt æqua
lis lineæ h: & [per fabricationem] proportio a d ad h, ſicut e ad z. Ergo [per 7. 11 p 5] proportio q t
ad t g, ſicut e ad z. Quod eſt propoſitum. Si uerò d ſumatur in illo latere extra triangulum: produ-
catur [per 31 p 1] à puncto d, æquidiſtans a b: & ſit d m: & ducatur a g, donec concurrat cum d m in
puncto m, [concurrat autem per lemma Procli ad 29 p 1. ] Et fiat circulus tranſiens per tria pun-
cta g, d, m: & ducatur linea a d: erit
72[Figure 72]ſ a e z h d g c t b q a d n m73[Figure 73]d b q a ſ e z h g c a m n d quidem [per 16 p 1] angulus g a d ma
ior angulo g m d: fiat [per 23 p 1] ei æ-
qualis: & ſit n m d: & à pũcto n, quod
eſt punctum circuli, ducatur linea æ-
qualis h lineæ [id uerò fiet per 33 uel
34 n: ita ut non tota linea à puncto n
ducta, ſed pars eius contermina dia-
metro extrà continuatæ, æquetur ipſi
h] ad quam lineã h ſe habeat a d, ſicut
e ad z, & ſit n c l [tota nimirum linea,
cuius pars c l æquetur lineæ h] ſuper
diametrum m g: & concurſus ſit l. Cũ
igitur [per 22 p 3] angulus n m d & an
gulus n c d ualeant duos rectos: &
[per fabricationem] angulus n m d
ſit ęqualis angulo t a d: erũt duo trian
gula t c l, t a d ſimilia. [Quia enim an-
guli n c d & l c d æquantur duobus re
ctis per 13 p 1, quibus item ex conclu-
ſo æquantur n c d & t a d: communi igitur n c d ſubducto, æquabitur reliquus l c d reliquo t a d: &
anguli ad uerticem t æquantur per 15 p 1, & per 32 p 1, tertius tertio. Quare triangula t c l, t a d ſunt ſi-
milia per 4 p. 1 d 6. ] Et cum [per 27 p 3] duo anguli g c d, g m d ſint æquales: erunt duo triangula gt
c, t a q ſimilia: [Nam cum angulus g m d æquetur angulo t a q per 29 p 1 (parallelæ enim ſunt d m
b a per fabricationem) æquabitur per 1 ax. angulus t a q angulo t c g, & ad uerticem t æquantur per
15 p 1: ideoq́; per 32 p 1 triangula g t c, t a q ſunt æquiangula, & per 4 p. 1 d 6 ſimilia] & erit proportio
a d ad c l (quæ eſt æqualis h) ſicut q t ad t g: & ita eſt e ad z, ſicut q t ad t g. [Quia enim triangula t a d,
t c l ſunt æquiangula: erit per 4 p 6, ut a d ad c l, ſic a t ad t c. Rurſus quia triangula a t q, t c g funt æ-
quiangula: erit per 4 p 6, a t ad t c, ſicut q t ad t g. Quare per 11 p 5 ut a d ad cl (id eſt e ad z) ſic q t
ad t g. ] Quod eſt propoſitum.
nea uſq; ad punctum g, ſicut ſe habet e ad z, quæ ſunt datę lineæ. Sit punctum d in ipſo triangulo
a b g: & [per 31 p 1] ducatur ab eo linea æquidiſtans a b: quæ ſit d m: & [per 5 p 4] ſuper tria puncta
g, m, d fiat circulus: & protrahatur linea a d. Quoniam [per 29 p 1]
71[Figure 71]q ſ a e z h a t d m c b d g n planum eſt, quòd angulus g m d eſt æqualis angulo g a b: erit [per
9 ax. ] maior g a d. Secetur ex eo æqualis per lineam m n: & ſit d n
m: & ſit [per 12 p 6] h linea, ad quam ſe habeat a d, ſicut ſe habet e
ad z: & à puncto n, quod eſt punctum circuli, ducatur linea ad dia-
metrum g m æqualis lineæ h, ſecundum ſuprà dicta [32 uel 33 n] &
ſit n l: [ita ut ſegmentum l c inter continuatam diametrum & peri
pheriam æquetur lineæ h] & punctum, in quo ſecat circulum, ſit c:
& ducatur linea g c: & à puncto d ducatur linea ad punctum c: quę,
cum cadat inter duas æquidiſtantes, tenens angulum acutum cum
altera, ſi producatur, neceſſariò concurret cum alia [per lẽma Pro-
cli ad 29 p 1. ] Cõcurrat igitur: & ſit punctum concurſus q. Planum
[per 27 p 3] quòd angulus g m d eſt æqualis angulo g c d: quia ca-
dunt in eundem arcum: & [per 29 p 1] angulus g m d eſt æqualis
angulo g a b: reſtat igitur [per 1 ax. 13 p 1. 3 ax. ] ut angulus g c q ſit
æqualis angulo g a q. Sit t punctum, in quo d q ſecat a g: & [per 15
p 1] angulus g t c eſt æqualis angulo a t q: igitur [per 32 p 1] tertius
tertio. Quare triangulum a t q ſimile triangulo t c g [per 4 p. 1 d 6. ]
Igitur proportio q t ad t g, ſicut a t ad t c. Verùm [per fabricationẽ]
angulus n m d eſt æqualis angulo t a d: & [per 27 p 3] angulo n c d
[id eſt per 15 p 1 angulo l c t. ] Quare [per 1 ax. ] l c t æqualis t a d: & angulus c t l communis duobus
triangulis: quare [per 32 p 1] tertius tertio: & triangulum ſimile triangulo, ſcilicet t l c triangulot
a d [per 4 p. 1 d 6. ] Igitur proportio t a ad t c, ſicut proportio a d ad l c. Quare [per 11 p 5] proportio
a d ad l c, ſicut q t ad t g [patuit enim, ut q t ad t g, ſic a t ad t c. ] Sed [per fabricationem] l c eſt æqua
lis lineæ h: & [per fabricationem] proportio a d ad h, ſicut e ad z. Ergo [per 7. 11 p 5] proportio q t
ad t g, ſicut e ad z. Quod eſt propoſitum. Si uerò d ſumatur in illo latere extra triangulum: produ-
catur [per 31 p 1] à puncto d, æquidiſtans a b: & ſit d m: & ducatur a g, donec concurrat cum d m in
puncto m, [concurrat autem per lemma Procli ad 29 p 1. ] Et fiat circulus tranſiens per tria pun-
cta g, d, m: & ducatur linea a d: erit
72[Figure 72]ſ a e z h d g c t b q a d n m73[Figure 73]d b q a ſ e z h g c a m n d quidem [per 16 p 1] angulus g a d ma
ior angulo g m d: fiat [per 23 p 1] ei æ-
qualis: & ſit n m d: & à pũcto n, quod
eſt punctum circuli, ducatur linea æ-
qualis h lineæ [id uerò fiet per 33 uel
34 n: ita ut non tota linea à puncto n
ducta, ſed pars eius contermina dia-
metro extrà continuatæ, æquetur ipſi
h] ad quam lineã h ſe habeat a d, ſicut
e ad z, & ſit n c l [tota nimirum linea,
cuius pars c l æquetur lineæ h] ſuper
diametrum m g: & concurſus ſit l. Cũ
igitur [per 22 p 3] angulus n m d & an
gulus n c d ualeant duos rectos: &
[per fabricationem] angulus n m d
ſit ęqualis angulo t a d: erũt duo trian
gula t c l, t a d ſimilia. [Quia enim an-
guli n c d & l c d æquantur duobus re
ctis per 13 p 1, quibus item ex conclu-
ſo æquantur n c d & t a d: communi igitur n c d ſubducto, æquabitur reliquus l c d reliquo t a d: &
anguli ad uerticem t æquantur per 15 p 1, & per 32 p 1, tertius tertio. Quare triangula t c l, t a d ſunt ſi-
milia per 4 p. 1 d 6. ] Et cum [per 27 p 3] duo anguli g c d, g m d ſint æquales: erunt duo triangula gt
c, t a q ſimilia: [Nam cum angulus g m d æquetur angulo t a q per 29 p 1 (parallelæ enim ſunt d m
b a per fabricationem) æquabitur per 1 ax. angulus t a q angulo t c g, & ad uerticem t æquantur per
15 p 1: ideoq́; per 32 p 1 triangula g t c, t a q ſunt æquiangula, & per 4 p. 1 d 6 ſimilia] & erit proportio
a d ad c l (quæ eſt æqualis h) ſicut q t ad t g: & ita eſt e ad z, ſicut q t ad t g. [Quia enim triangula t a d,
t c l ſunt æquiangula: erit per 4 p 6, ut a d ad c l, ſic a t ad t c. Rurſus quia triangula a t q, t c g funt æ-
quiangula: erit per 4 p 6, a t ad t c, ſicut q t ad t g. Quare per 11 p 5 ut a d ad cl (id eſt e ad z) ſic q t
ad t g. ] Quod eſt propoſitum.
36. Duob{us} punctis extra circuli peripheriam, uel uno extra, reliquo intra datis: inuenire in
peripheria punctum, in quo recta linea ipſam tangẽs, bif ariam ſecet angulum comprehenſum
peripheria punctum, in quo recta linea ipſam tangẽs, bif ariam ſecet angulum comprehenſum