153147OPTICAE LIBER V.
duab{us} rectis, à dictis punctis ad punctum tact{us} ductis. 135 p 1.
AMplius:
duobus punctis datis, ſcilicet e, d, & dato circulo:
eſt inuenire punctum in eo, ut an-
gulum contentum à lineis, à punctis prædictis ad illud punctum ductis, diuidat per æqualia,
linea circulum contingens in illo puncto. Verbi gratia: ducatur à puncto e ad centrum circu
li dati, linea e g: & producatur uſq; ad circumferentiam: & ſit e s: deinde ducatur linea g d. Et ſit [per
10 p 6] m i linea diuiſa in puncto c, ut ſit proportio i c ad e m, ſicut e g ad g d: & [per 10 p 1] diuidatur
m i per æqualia in puncto n: & [per 11 p 1] ducatur perpendicularis n o: & ſuper punctum m fiat an-
gulus ęqualis medietati anguli d g s [per 9 & 23 p 1] per lineã m o. Palàm, quòd erit minor recto. [Nã
anguli ad g deinceps æquantur duobus rectis per 13 p 1: itaq; d g s ijſdem eſt minor: quare d g s dimi
diatus minor eſt recto] & o n m rectus: igitur [per 11 ax. ] cõcurret cum n o: concurrat aũt in puncto
o: & ducatur à puncto c [per præcedentem numerum] linea ad triangulũ: quę ſit c k f: ita ut propor
tio k f ad m f ſit, ſicut proportio e g ad g s: & [per 23 p 1] ſuper punctum g [terminum lineæ e g] fiat
angulus æqualis angulo m f k, per lineam uſq; ad circulum ductam: quæ ſit a g: & ſit angulus a g e: &
ducantur lineæ a g, a d. Dico, quòd a eſt punctum, quod quęrimus. Ducatur linea e a. Cum igitur an
gulus m f k [per fabricationem] ſit æqualis angulo a g e: & [per fabricationem] proportio k f ad m
f, ſicut g e ad g a: cum [per 15 d 1] g a ſit æqualis g s: erit triangulum a g e ſimile triangulo m f k [per
6. 4 p. 1 d 6. ] Igitur angulus f m k eſt ęqualis angulo e a g, & angulus a e g æqualis angulo m k f. Iam
[per 23 p 1] à puncto a ducatur linea, tenens cum linea a e angulum æqualem angulo n m k: & ſit li-
nea a z: quę neceſſariò concurret cum linea e g. Quoniam, quæ eſt proportio k fad m f, ea eſt e g ad
g a, & angulus g a z ęqualis
74[Figure 74]d a h ſ s u g e z t q75[Figure 75]o k f i l n m eſt angulo f m c. [ęqualis e-
nim concluſus eſt angulus
f m k angulo e a g] Igitur ſi-
cut linea m o concurrit cũ
f k in puncto f: ſic concur-
ret a z cum e g. Sit concur-
ſus in puncto z: & produ-
catur a z uſq; ad punctũ q:
ita ut linea a z ſe habeat ad
z q, ſicut m c ad c i: [per 12 p
6] & ducatur linea e q. De-
inde [per 31 p 1] à puncto a
ducatur æquidiſtans e q:
quę ſit a t: erit quidem [per
29 p 1] angulus a q e æqua-
lis angulo q a t. Et quoniam duo anguli z e a, e a t ſunt minores duobus rectis [quia per 29 p 1 angu-
li q e a, e a t æquantur duobus rectis] concurret a t neceſſariò cum e z [per 11 ax. ] Sit concurſus pun
ctum t. Palàm [ex prius demonſtratis] quòd angulus a e g eſt æqualis angulo m k f. Ducta autem à
puncto e linea perpẽdiculari ſuper a z: quæ ſit e l: erit [per 32 p 1] angulus a e l æqualis angulo m k n:
cum [per fabricationem] angulus e a l ſit æqualis angulo k m n, & angulus a l e ęqualis m n k: quia
uterq; rectus: reſtat ergo [per 13 p 1. 3 ax. ] l e z æqualis angulo n k c: & angulus e l z rectus, ęqualis an
gulo k n c: reſtat [per 32 p 1] ut angulus e z l ſit ęqualis k c n: igitur [per 13 p 1. 3 ax. ] e z q æqualis angu
lo k c i. Palàm ergo [per 4 p. 1 d 6] quòd triangulum e a g ſimile eſt triangulo f m k: & triangulũ e a l
ſimile triangulo k m n: & triangulũ e l z ſimile k n c: & triangulũ e a z triangulo k m c [Nam ք fabri-
cationem angulus e a l æquatur angulo k m n, & angulus e z l ęqualis oſtenſus eſt angulo k c n: ergo
per 32 p 1 reliquus reliquo: ideoq́; per 4 p. 1 d 6 triangula e a z, k m c ſunt ſimilia] Ergo proportio a z
ad z e, ſicut m c ad c k, & [per fabricationem] proportio a z ad z q, ſicut m c ad c i: Igitur [per 22 p 5]
proportio q z ad e z, ſicut i c ad c k. Quare [per 6. 4 p. 1 d 6] triangulum q z e ſimile triangulo i c k: &
triangulũ q l e ſimile triangulo i n k [quia iam patuit triangulum e l z ſimile eſſe triangulo k n c: itaq;
cum partes partibus ſimiles ſint: totum triãgulum q l e toti i k n ſimile erit. Quare per 1 d 6, ut q l ad
l e, ſic i n ad n k: & ſimiliter ob triangulorum a e l, k m n ſimilitudinem eſt, ut e l ad a l, ſic k n ad m n]
erit ergo [per 22 p & conſectarium 4 p 5] proportio m n ad n i, ſicut a l ad l q: & ita a l æqualis l q [ꝗ̃a
m n æquata eſt ipſi n i] & [per 4 p 1] e q erit ęqualis e a: & angulus e q z æqualis angulo l a e: & [per
fabricationem & 29 p 1] angulus e q z ęqualis angulo z a t: igitur [per 15. 32 p 1] tertius tertio ęqualis.
Quare [per 4 p 6] proportio q z ad z a, ſicut e z ad z t, & ſicut e q ad at: & [per 7 p 5] ſicut a e ad a t.
Sed q z ad z a, ſicut e g ad d g [fuit enim per fabricationem e g ad g d, ſicut i c ad c m: item ut c m ad i
c, ſic a z a d z q, & per cõſectarium 4 p 5 ut i c ad c m, ſic z q ad a z: ergo per 11 p 5, ut e g ad g d, ſic z q ad
a z. ] Igitur [per 11 p 5] a e ad a t, ſicut e g ad g d. Fiat autem [per 23 p 1] ſuper punctum a angulus æ-
qualis angulo g a e: qui ſit u a g. Palàm, quòd angulus g a l eſt medietas anguli u a t: [Quia enim ex
concluſo anguli z a t, z a e æquantur eidem z q e: ipſi inter ſe æquantur. Itaq; ſi æqualib. æqualia ad-
dantur, æquabitur angulus g a l duobus angulis u a g, z a t. Quare totus u a t duplus erit anguli g a l]
Sed eſt medietas d g u: [quia angulus g a l ęqualis concluſus eſt angulo f m c: qui per fabricationem
eſt dimidius anguli d g u. ] Quare angulus u a t eſt ęqualis angulo d g u: [per 6 ax. ] ſed anguli u a t,
gulum contentum à lineis, à punctis prædictis ad illud punctum ductis, diuidat per æqualia,
linea circulum contingens in illo puncto. Verbi gratia: ducatur à puncto e ad centrum circu
li dati, linea e g: & producatur uſq; ad circumferentiam: & ſit e s: deinde ducatur linea g d. Et ſit [per
10 p 6] m i linea diuiſa in puncto c, ut ſit proportio i c ad e m, ſicut e g ad g d: & [per 10 p 1] diuidatur
m i per æqualia in puncto n: & [per 11 p 1] ducatur perpendicularis n o: & ſuper punctum m fiat an-
gulus ęqualis medietati anguli d g s [per 9 & 23 p 1] per lineã m o. Palàm, quòd erit minor recto. [Nã
anguli ad g deinceps æquantur duobus rectis per 13 p 1: itaq; d g s ijſdem eſt minor: quare d g s dimi
diatus minor eſt recto] & o n m rectus: igitur [per 11 ax. ] cõcurret cum n o: concurrat aũt in puncto
o: & ducatur à puncto c [per præcedentem numerum] linea ad triangulũ: quę ſit c k f: ita ut propor
tio k f ad m f ſit, ſicut proportio e g ad g s: & [per 23 p 1] ſuper punctum g [terminum lineæ e g] fiat
angulus æqualis angulo m f k, per lineam uſq; ad circulum ductam: quæ ſit a g: & ſit angulus a g e: &
ducantur lineæ a g, a d. Dico, quòd a eſt punctum, quod quęrimus. Ducatur linea e a. Cum igitur an
gulus m f k [per fabricationem] ſit æqualis angulo a g e: & [per fabricationem] proportio k f ad m
f, ſicut g e ad g a: cum [per 15 d 1] g a ſit æqualis g s: erit triangulum a g e ſimile triangulo m f k [per
6. 4 p. 1 d 6. ] Igitur angulus f m k eſt ęqualis angulo e a g, & angulus a e g æqualis angulo m k f. Iam
[per 23 p 1] à puncto a ducatur linea, tenens cum linea a e angulum æqualem angulo n m k: & ſit li-
nea a z: quę neceſſariò concurret cum linea e g. Quoniam, quæ eſt proportio k fad m f, ea eſt e g ad
g a, & angulus g a z ęqualis
74[Figure 74]d a h ſ s u g e z t q75[Figure 75]o k f i l n m eſt angulo f m c. [ęqualis e-
nim concluſus eſt angulus
f m k angulo e a g] Igitur ſi-
cut linea m o concurrit cũ
f k in puncto f: ſic concur-
ret a z cum e g. Sit concur-
ſus in puncto z: & produ-
catur a z uſq; ad punctũ q:
ita ut linea a z ſe habeat ad
z q, ſicut m c ad c i: [per 12 p
6] & ducatur linea e q. De-
inde [per 31 p 1] à puncto a
ducatur æquidiſtans e q:
quę ſit a t: erit quidem [per
29 p 1] angulus a q e æqua-
lis angulo q a t. Et quoniam duo anguli z e a, e a t ſunt minores duobus rectis [quia per 29 p 1 angu-
li q e a, e a t æquantur duobus rectis] concurret a t neceſſariò cum e z [per 11 ax. ] Sit concurſus pun
ctum t. Palàm [ex prius demonſtratis] quòd angulus a e g eſt æqualis angulo m k f. Ducta autem à
puncto e linea perpẽdiculari ſuper a z: quæ ſit e l: erit [per 32 p 1] angulus a e l æqualis angulo m k n:
cum [per fabricationem] angulus e a l ſit æqualis angulo k m n, & angulus a l e ęqualis m n k: quia
uterq; rectus: reſtat ergo [per 13 p 1. 3 ax. ] l e z æqualis angulo n k c: & angulus e l z rectus, ęqualis an
gulo k n c: reſtat [per 32 p 1] ut angulus e z l ſit ęqualis k c n: igitur [per 13 p 1. 3 ax. ] e z q æqualis angu
lo k c i. Palàm ergo [per 4 p. 1 d 6] quòd triangulum e a g ſimile eſt triangulo f m k: & triangulũ e a l
ſimile triangulo k m n: & triangulũ e l z ſimile k n c: & triangulũ e a z triangulo k m c [Nam ք fabri-
cationem angulus e a l æquatur angulo k m n, & angulus e z l ęqualis oſtenſus eſt angulo k c n: ergo
per 32 p 1 reliquus reliquo: ideoq́; per 4 p. 1 d 6 triangula e a z, k m c ſunt ſimilia] Ergo proportio a z
ad z e, ſicut m c ad c k, & [per fabricationem] proportio a z ad z q, ſicut m c ad c i: Igitur [per 22 p 5]
proportio q z ad e z, ſicut i c ad c k. Quare [per 6. 4 p. 1 d 6] triangulum q z e ſimile triangulo i c k: &
triangulũ q l e ſimile triangulo i n k [quia iam patuit triangulum e l z ſimile eſſe triangulo k n c: itaq;
cum partes partibus ſimiles ſint: totum triãgulum q l e toti i k n ſimile erit. Quare per 1 d 6, ut q l ad
l e, ſic i n ad n k: & ſimiliter ob triangulorum a e l, k m n ſimilitudinem eſt, ut e l ad a l, ſic k n ad m n]
erit ergo [per 22 p & conſectarium 4 p 5] proportio m n ad n i, ſicut a l ad l q: & ita a l æqualis l q [ꝗ̃a
m n æquata eſt ipſi n i] & [per 4 p 1] e q erit ęqualis e a: & angulus e q z æqualis angulo l a e: & [per
fabricationem & 29 p 1] angulus e q z ęqualis angulo z a t: igitur [per 15. 32 p 1] tertius tertio ęqualis.
Quare [per 4 p 6] proportio q z ad z a, ſicut e z ad z t, & ſicut e q ad at: & [per 7 p 5] ſicut a e ad a t.
Sed q z ad z a, ſicut e g ad d g [fuit enim per fabricationem e g ad g d, ſicut i c ad c m: item ut c m ad i
c, ſic a z a d z q, & per cõſectarium 4 p 5 ut i c ad c m, ſic z q ad a z: ergo per 11 p 5, ut e g ad g d, ſic z q ad
a z. ] Igitur [per 11 p 5] a e ad a t, ſicut e g ad g d. Fiat autem [per 23 p 1] ſuper punctum a angulus æ-
qualis angulo g a e: qui ſit u a g. Palàm, quòd angulus g a l eſt medietas anguli u a t: [Quia enim ex
concluſo anguli z a t, z a e æquantur eidem z q e: ipſi inter ſe æquantur. Itaq; ſi æqualib. æqualia ad-
dantur, æquabitur angulus g a l duobus angulis u a g, z a t. Quare totus u a t duplus erit anguli g a l]
Sed eſt medietas d g u: [quia angulus g a l ęqualis concluſus eſt angulo f m c: qui per fabricationem
eſt dimidius anguli d g u. ] Quare angulus u a t eſt ęqualis angulo d g u: [per 6 ax. ] ſed anguli u a t,
zoom in
zoom out
zoom area
full page
page width
set mark
remove mark
get reference
digilib