154154A*PPENDIX*
C*APVT IV.*
Demonstrationum ſupraſcriptarum nonnullas per nume@
rosinstitutas, Mathematicas eſſe.
rosinstitutas, Mathematicas eſſe.
MAthematicæ &
Mechanicæ demonſtrationis à doctis annotatur differen-
tia, neque injuria. Nam illa omnibus generalis eſt, & rationem cur ita ſit
penitus demonſtrat, hæc verò in ſubjecto duntaxat paradigmate numeris de-
clarat. Vt ſi demonſtraturus in rectangulo triangulo baſin recti æquè poſſe cru-
ribus, aſſumat triangulum cujus minimum latus ſit 3, ſecundum 4, tertium 5 pe-
dum, hocq́ue rectangulum eſſe deprehendatur; tumq́ue oſtendat maximi la-
teris quadratum 25, æquari reliquorum laterum quadratis 16 & 9. Sed demon-
ſtratio hujuſmodi tantum eſt propoſiti exempli, unde non concluſeris omnibus
rectangulis triangulis idem contingere, neque hinc cur id fiat evidens eſt; &
quia opus hujuſmodi machinationein ſpeciali exemplo inſtituitur, mechanica
demonſtratio appellatur: ſed illa quam Euclides 47 propoſ. 1 lib. uſurpat ca-
tholica eſt & univerſalis, cauſam repetens ab ipſis elementis cur ita neceſſariò, &
non aliter ſe habere poſſit: hæc propter certitudinem in demonſtrando, & do-
cendo infallibilem Mathematica dicitur; ideoq́ue etiam ab ipſis Mathematicis
potior cenſetur & frequentiùs uſurpatur, quam illa per numeros mechanica.
Vnde objectionem mihi paratam intelligo, cur 4, 11, 12, 18 propoſitiones 2. lib.
Elem. Statices numeris adhibitis explicarim & demonſtrarim. Cui occurritur,
demonſtrationem in numeris dupliciter inſtitui; alteram ubi tanquam termini
rationem, proportionemq́ue partium expoſitæ figuræ declarant; alteram ubi
quantitatem. Illa Mathematica eſt quia univerſim ſpeciei datæ figuræ conve-
niat, & in ipſis cauſam declaret; hæc autem non item, ob rationes iſtis contra-
rias. Quain re Eutochius in ſuis in Apollonium cõmentariis 11 prop. lib. 1. mecum
facit, dum ait: Non perturbentur qui in hæc inciderint, quodillud ex Arithmeticis de-
monſtretur: antiqui enim hujuſmodi demonſtrationibus ſæpe uti conſueverunt; quæ ta-
men Mathematicæ potius ſunt, quam Arithmeticæpropter analogias. adde quod quæſi-
tum Arithmeticam ſit; nam rationes & rationum quantitates, & multiplicationes pri-
mò numeris, ſecundo loco per numeros & magnitudinibus inſunt, ex illius ſententia
qui ita ſcripſit: Ταῦ{τα} {γὰρ} τὰ μα{θή}μα{τα} δοκ{οῦ}ν{τι} {εἶ}μεν ἀδελφά. hoc eſt, hæ enim Ma-
thematicæ diſciplinæ germanæ eſſe videntur. Inſuperautĕ objiciatur in Archimedis,
Ptolomæi, Apollonii, & inter recentiores Comandini, Regiomontani, aliorumq́ue
ſimilium propoſitionibus ipſam rationem, non autem rationis terminos in nu-
meris nominatim proponi, quod à nobis factitatum ſit; cui reſponſio expedita
eſt & in promptu; eodem jure atque ab illis citatur ratio dupla, tripla, quadru-
pla, eodem in quam jure, citari etiam rationem duodecuplam, quale illud in di-
cta 23 propoſ. A D ad R D; item rationem 37 ad 23 ſive ſuperquatuordecu-
partientem vigeſimastertias ipſius A R ad R D in ſupraſcripta propoſitione 11,
cum idem ſit rationem, & rationum terminos proponere. nam iſtarum li-
nearum in expoſitis figurarum illarum generibus alia ratio nulla eſt. Cum au-
tem numerorum uſus ſit in perveſtigandis iſtiuſmodi figurarum proprietati-
bus, ut his ducibus & commõſtratoribus facilè & perſpicuè res ipſas pernoſca-
mus, etiam neceſſe fuit in illarum deſcriptione numeros eoſdem adſcribere, ne
aliis obſcurum ſit, quod earum autoribus & inventoribus clarum fuerit, namq́;
hæc ipſa eſt vera & Mathematica demonſtratio, propoſiti veritatem ab ipſis
cauſis repetere.
tia, neque injuria. Nam illa omnibus generalis eſt, & rationem cur ita ſit
penitus demonſtrat, hæc verò in ſubjecto duntaxat paradigmate numeris de-
clarat. Vt ſi demonſtraturus in rectangulo triangulo baſin recti æquè poſſe cru-
ribus, aſſumat triangulum cujus minimum latus ſit 3, ſecundum 4, tertium 5 pe-
dum, hocq́ue rectangulum eſſe deprehendatur; tumq́ue oſtendat maximi la-
teris quadratum 25, æquari reliquorum laterum quadratis 16 & 9. Sed demon-
ſtratio hujuſmodi tantum eſt propoſiti exempli, unde non concluſeris omnibus
rectangulis triangulis idem contingere, neque hinc cur id fiat evidens eſt; &
quia opus hujuſmodi machinationein ſpeciali exemplo inſtituitur, mechanica
demonſtratio appellatur: ſed illa quam Euclides 47 propoſ. 1 lib. uſurpat ca-
tholica eſt & univerſalis, cauſam repetens ab ipſis elementis cur ita neceſſariò, &
non aliter ſe habere poſſit: hæc propter certitudinem in demonſtrando, & do-
cendo infallibilem Mathematica dicitur; ideoq́ue etiam ab ipſis Mathematicis
potior cenſetur & frequentiùs uſurpatur, quam illa per numeros mechanica.
Vnde objectionem mihi paratam intelligo, cur 4, 11, 12, 18 propoſitiones 2. lib.
Elem. Statices numeris adhibitis explicarim & demonſtrarim. Cui occurritur,
demonſtrationem in numeris dupliciter inſtitui; alteram ubi tanquam termini
rationem, proportionemq́ue partium expoſitæ figuræ declarant; alteram ubi
quantitatem. Illa Mathematica eſt quia univerſim ſpeciei datæ figuræ conve-
niat, & in ipſis cauſam declaret; hæc autem non item, ob rationes iſtis contra-
rias. Quain re Eutochius in ſuis in Apollonium cõmentariis 11 prop. lib. 1. mecum
facit, dum ait: Non perturbentur qui in hæc inciderint, quodillud ex Arithmeticis de-
monſtretur: antiqui enim hujuſmodi demonſtrationibus ſæpe uti conſueverunt; quæ ta-
men Mathematicæ potius ſunt, quam Arithmeticæpropter analogias. adde quod quæſi-
tum Arithmeticam ſit; nam rationes & rationum quantitates, & multiplicationes pri-
mò numeris, ſecundo loco per numeros & magnitudinibus inſunt, ex illius ſententia
qui ita ſcripſit: Ταῦ{τα} {γὰρ} τὰ μα{θή}μα{τα} δοκ{οῦ}ν{τι} {εἶ}μεν ἀδελφά. hoc eſt, hæ enim Ma-
thematicæ diſciplinæ germanæ eſſe videntur. Inſuperautĕ objiciatur in Archimedis,
Ptolomæi, Apollonii, & inter recentiores Comandini, Regiomontani, aliorumq́ue
ſimilium propoſitionibus ipſam rationem, non autem rationis terminos in nu-
meris nominatim proponi, quod à nobis factitatum ſit; cui reſponſio expedita
eſt & in promptu; eodem jure atque ab illis citatur ratio dupla, tripla, quadru-
pla, eodem in quam jure, citari etiam rationem duodecuplam, quale illud in di-
cta 23 propoſ. A D ad R D; item rationem 37 ad 23 ſive ſuperquatuordecu-
partientem vigeſimastertias ipſius A R ad R D in ſupraſcripta propoſitione 11,
cum idem ſit rationem, & rationum terminos proponere. nam iſtarum li-
nearum in expoſitis figurarum illarum generibus alia ratio nulla eſt. Cum au-
tem numerorum uſus ſit in perveſtigandis iſtiuſmodi figurarum proprietati-
bus, ut his ducibus & commõſtratoribus facilè & perſpicuè res ipſas pernoſca-
mus, etiam neceſſe fuit in illarum deſcriptione numeros eoſdem adſcribere, ne
aliis obſcurum ſit, quod earum autoribus & inventoribus clarum fuerit, namq́;
hæc ipſa eſt vera & Mathematica demonſtratio, propoſiti veritatem ab ipſis
cauſis repetere.