155 tiõe mouet ſortes ſiue ꝓueniat illa velocitas b. et ꝓ
ponitur ſiue ſignatur proportio ſexquialtera: tunc
arithmeticis principiis īueſtigare poſſumus an ꝓ
portio ſortis ad a. a qua prouenit velocitas b. ſit ꝓ
portioni ſexquialtere ꝓpoſite et ſignate cõmenſura
bilis nec ne. Quo inueſtigatur iſto modo: capio
vnum lapidem qui ſit c. ſubſexquialterum ad a. la-
pidem: et moueat ſortes in eodem tempore vel equa
li ab eadem virtute a. et c. / tunc arguitur ſic / vel ſpaci
um per quod ſortes in illo tempore mouet c. eſt com
menſurabile ſpacio per quod mouet a. in eodem tē
pore, vel nõ. Si nõ iã illa ſpacia ſe habebunt in ali
qua ꝓportione irrationali et ſic proportio ſexqui-
altera erit irrationalis ꝓportioni a qua prouenit
velocitas b. que eſt ſortis ad a. Quod probatur ſic /
quia ſi illa ſpacia ſint incõmenſnrabilia / conſeq̄ns
eſt / proportiones a quibus proueniunt ſint incõ-
menſurabiles. ſed proportiones a quibus proueni
unt ſunt ſortis ad a. et ſortis ad c. / igitur proportio
ſortis ad c. eſt incõmenſurabilis ꝓportioni ſortis
ad a. minori proportione ſortis ad c. / igitur exceſſus
qua proportio ſortis ad c. excedit ꝓportionem ſor
tis ad a. eſt incõmenſurabilis proportiõi ſortis ad
a. Probatur hec conſequentia per hanc maximaꝫ.
Quandocun duo ſunt incõmenſurabilia exceſſus
quo maius illorum excedit minus eſt etiam incõmē
ſurabilis minori / vt ꝓbatuꝫ eſt in prima parte hu
ius operis de exceſſu diametri ad coſtam quarto ca
pite ſuppoſitione quarta: ſaltem ex modo proban
di illius ſuppoſitiõis patet. Sed proportio ſortis
ad c. eſt incõmenſurabilis proportioni ſortis ad a.
et excedit proportionem ſortis ad a. per proportio
nem a. ad c. ſexquialteram: ergo ꝑ datam maximaꝫ
proportio ſexquialtera eſt incõmenſurabilis ꝓpor
tioni ſortes ad a. a qua prouenit velocitas b. / quod
fuit vnum inducenduꝫ. Si vero ſpacia illa videlicet
ꝑ que ſortes mouet c. et mouet a. ſint commenſurabi
lia: ſequitur / propoitio ſexquialtera ꝓpoſita eſt
cõmenſurabilis proportioni ſortis ad a. a qua pro
uenit b. velocitas Qḋ ſic probatur / quia ſi illa ſpa-
cia ſunt cõmenſurabilia ſint illa cõmenſurabilia.
ponitur ſiue ſignatur proportio ſexquialtera: tunc
arithmeticis principiis īueſtigare poſſumus an ꝓ
portio ſortis ad a. a qua prouenit velocitas b. ſit ꝓ
portioni ſexquialtere ꝓpoſite et ſignate cõmenſura
bilis nec ne. Quo inueſtigatur iſto modo: capio
vnum lapidem qui ſit c. ſubſexquialterum ad a. la-
pidem: et moueat ſortes in eodem tempore vel equa
li ab eadem virtute a. et c. / tunc arguitur ſic / vel ſpaci
um per quod ſortes in illo tempore mouet c. eſt com
menſurabile ſpacio per quod mouet a. in eodem tē
pore, vel nõ. Si nõ iã illa ſpacia ſe habebunt in ali
qua ꝓportione irrationali et ſic proportio ſexqui-
altera erit irrationalis ꝓportioni a qua prouenit
velocitas b. que eſt ſortis ad a. Quod probatur ſic /
quia ſi illa ſpacia ſint incõmenſnrabilia / conſeq̄ns
eſt / proportiones a quibus proueniunt ſint incõ-
menſurabiles. ſed proportiones a quibus proueni
unt ſunt ſortis ad a. et ſortis ad c. / igitur proportio
ſortis ad c. eſt incõmenſurabilis ꝓportioni ſortis
ad a. minori proportione ſortis ad c. / igitur exceſſus
qua proportio ſortis ad c. excedit ꝓportionem ſor
tis ad a. eſt incõmenſurabilis proportiõi ſortis ad
a. Probatur hec conſequentia per hanc maximaꝫ.
Quandocun duo ſunt incõmenſurabilia exceſſus
quo maius illorum excedit minus eſt etiam incõmē
ſurabilis minori / vt ꝓbatuꝫ eſt in prima parte hu
ius operis de exceſſu diametri ad coſtam quarto ca
pite ſuppoſitione quarta: ſaltem ex modo proban
di illius ſuppoſitiõis patet. Sed proportio ſortis
ad c. eſt incõmenſurabilis proportioni ſortis ad a.
et excedit proportionem ſortis ad a. per proportio
nem a. ad c. ſexquialteram: ergo ꝑ datam maximaꝫ
proportio ſexquialtera eſt incõmenſurabilis ꝓpor
tioni ſortes ad a. a qua prouenit velocitas b. / quod
fuit vnum inducenduꝫ. Si vero ſpacia illa videlicet
ꝑ que ſortes mouet c. et mouet a. ſint commenſurabi
lia: ſequitur / propoitio ſexquialtera ꝓpoſita eſt
cõmenſurabilis proportioni ſortis ad a. a qua pro
uenit b. velocitas Qḋ ſic probatur / quia ſi illa ſpa-
cia ſunt cõmenſurabilia ſint illa cõmenſurabilia.
argumenti gratia proportione dupla. / et ſequitur /
proportio ſortis ad c. eſt dupla ad proportioneꝫ
ſortis ad a. Cõſequentia ſepius arguta eſt: ergo ſe
quitur / illa ꝓportio ſortis ad a. eſt medietas eius /
et per conſequens totum reſiduum / quod eſt propor
tio a. ad c. eſt alia medietas: ſed totum reſiduum eſt
proportio ſexquialtera. / ergo proportio ſexquialte
ra eſt medietas illius ꝓportionis ſortis ad c. et alia
medietas eſt proportio ſortis ad a. a qua prouenit
velocitas b. / ergo ſequitur / illa ꝓportio ſortis ad
a. a qua prouenit velocitas b. eſt equalis proportio
ni ſexquialtere: et ſic probabis ꝑticulariter in omni
bus: Sed vniuerſaliter probabitur ſic / proportio
ſortis ad c. eſt cõmenſurabilis ꝓportioni ſortis ad
a. a qua prouenit velocitas b. et proportio ſortis ad
c. excedit proportionem ſortis ad a. etc̈. per propor
tionem a. ad c. ſexquialteram adequate: igitur pro
portio illa a. ad c. ſexquialtera eſt cõmenſurabilis
ꝓportioni ſortis ad a. / quod fuit inducendum. Con
ſequentia patet ꝑ hanc maximam Quotienſcun
duo inequalia ſunt cõmenſurabilia exceſſus maio-
ris ſupra minus eſt ipſi minori cõmenſurabilis: qm̄
eſt pars aliquota vel ꝑtes aliquote vtriuſ / vt pa-
tet ex ſexta ſuppoſitione q̈rti capitis ſecunde par-
tis. Sed in ꝓpoſito ꝓportio illa ſexquialtera a. ad
c. eſt exceſſus quo proportio ſortis ad c. excedit pro
portionem ſortis ad a. a qua prouenit b. velocitas:
ergo proportio ſexquialtera cõmenſurabilis eſt pro
portioni ſortis ad a. a qua prouenit velocitas b. / qḋ
fuit inducendum. 11Nicolaꝰ
horem. ¶ Et hee quatuor cõcluſiones (ne
alienis ſpoliis triumphare videamur) ex officina et
ꝑſpicaci minerua doctiſſimi magiſtri Nicolai ho-
horen deprompte ſunt et excerpte quas in ſuo trac-
tatu proportionum quarto capite ſuis fulcimētis
et probationibus mathematicis reperies munitas
¶ Exactis notabilibus et ex conſequenti parte huiꝰ
corporis noſtre queſtionis abſoluta ad ſecundaꝫ ꝑ
tem accedendum eſt in qua multe et egregie conclu-
ſiones (quibus medieantibus queſtio diſſoluetur) ꝓ
babūtur: at inducentur
proportio ſortis ad c. eſt dupla ad proportioneꝫ
ſortis ad a. Cõſequentia ſepius arguta eſt: ergo ſe
quitur / illa ꝓportio ſortis ad a. eſt medietas eius /
et per conſequens totum reſiduum / quod eſt propor
tio a. ad c. eſt alia medietas: ſed totum reſiduum eſt
proportio ſexquialtera. / ergo proportio ſexquialte
ra eſt medietas illius ꝓportionis ſortis ad c. et alia
medietas eſt proportio ſortis ad a. a qua prouenit
velocitas b. / ergo ſequitur / illa ꝓportio ſortis ad
a. a qua prouenit velocitas b. eſt equalis proportio
ni ſexquialtere: et ſic probabis ꝑticulariter in omni
bus: Sed vniuerſaliter probabitur ſic / proportio
ſortis ad c. eſt cõmenſurabilis ꝓportioni ſortis ad
a. a qua prouenit velocitas b. et proportio ſortis ad
c. excedit proportionem ſortis ad a. etc̈. per propor
tionem a. ad c. ſexquialteram adequate: igitur pro
portio illa a. ad c. ſexquialtera eſt cõmenſurabilis
ꝓportioni ſortis ad a. / quod fuit inducendum. Con
ſequentia patet ꝑ hanc maximam Quotienſcun
duo inequalia ſunt cõmenſurabilia exceſſus maio-
ris ſupra minus eſt ipſi minori cõmenſurabilis: qm̄
eſt pars aliquota vel ꝑtes aliquote vtriuſ / vt pa-
tet ex ſexta ſuppoſitione q̈rti capitis ſecunde par-
tis. Sed in ꝓpoſito ꝓportio illa ſexquialtera a. ad
c. eſt exceſſus quo proportio ſortis ad c. excedit pro
portionem ſortis ad a. a qua prouenit b. velocitas:
ergo proportio ſexquialtera cõmenſurabilis eſt pro
portioni ſortis ad a. a qua prouenit velocitas b. / qḋ
fuit inducendum. 11Nicolaꝰ
horem. ¶ Et hee quatuor cõcluſiones (ne
alienis ſpoliis triumphare videamur) ex officina et
ꝑſpicaci minerua doctiſſimi magiſtri Nicolai ho-
horen deprompte ſunt et excerpte quas in ſuo trac-
tatu proportionum quarto capite ſuis fulcimētis
et probationibus mathematicis reperies munitas
¶ Exactis notabilibus et ex conſequenti parte huiꝰ
corporis noſtre queſtionis abſoluta ad ſecundaꝫ ꝑ
tem accedendum eſt in qua multe et egregie conclu-
ſiones (quibus medieantibus queſtio diſſoluetur) ꝓ
babūtur: at inducentur
Prima concluſio
Diuiſo aliquo cor-
pore ſiue latitudine ꝑ partes ꝓportionales quauis
libuerit ꝓportione: totum illud corpus ſiue latitu-
do ſe habet ad reſiduum a prima ꝑte proportionali
in ea proportione q̈ ipſum ſiue latitudo ipſa diui-
ditur. Hec eſt prima et fundamentalis concluſio cui
innuitur quintum caput prime partis huius ope-
ris vide eam ibi.
pore ſiue latitudine ꝑ partes ꝓportionales quauis
libuerit ꝓportione: totum illud corpus ſiue latitu-
do ſe habet ad reſiduum a prima ꝑte proportionali
in ea proportione q̈ ipſum ſiue latitudo ipſa diui-
ditur. Hec eſt prima et fundamentalis concluſio cui
innuitur quintum caput prime partis huius ope-
ris vide eam ibi.
Secunda concluſio
Diuiſo aliquo tē
pore per partes ꝓportionales quauis ꝓportione:
et ſit aliquod mobile quod aliquãta velocitate mo-
ueatur in prima parte ꝓportionali et in ſecunda in
duplo maiori ꝙ̄ in prima: et in tertia in triplo ma-
iori ꝙ̄ in prima: et in quarta in quadruplo maiori /
et ſic conſequenter aſcendendo per omnes ſpecies
proportionis multiplicis: talis velocitas totius il
lius temporis et omnium illarum partium propor
tionalium ſe habet ad velocitatem prime partis ꝓ
portionalis in ea proportione in qua ſe habet to-
tum illud tempus ſic diuiſuꝫ in ordine ad primam
partem proportionalem. vt ſi illud tp̄s diuiſim fue
rit in partes proportionales ꝓportione ſexquial-
tera: et velocitates illarum partium proportiona-
lium diſponantur modo quo ponit concluſio: tunc
dico / totalis illa velocitas totius illius temporis
adequate ſe habet ad velocitatem prime partis ꝓ-
portionalis in proportione tripla. ex eo totū tē-
pus diuiſuꝫ ꝑ partes proportionales proportione
ſexquialtera ſe habet ad primam proportionalem
in proportiõe tripla. Eſt enim ṗma pars vna tertia
totius / vt oſtendit quarta cõcluſio quinti capituli p̄
me partis huius operis. Probatur tamen vniuer
ſaltter hec cõcluſio. et ſuppono / quando velocita-
tes ſe habent eo mõ q̊ textꝰ cõcluſionis pretēdit tūc
ꝑ totū tp̄s extendit̄̄ illa velocitas / q̄ extendit̄̄ ꝑ ṗmã
partem proportionalem, et ꝑ totum reſiduū a prīa
extenditur tanta adequate nõ cõicans cum prima ꝑ
totum corpus extenſa, et per totum reſiduum a pri-
ma et ſecunda ꝑte proportionali iterum extenditur
tanta velocitas adequate nõ cõmunicans cum aliq̈
precedeutinm: et ſic cõſequenter. Hec ſuppoſitio pa
tet manifeſte intuenti: qm̄ ſi velocitas ſecunde par-
tis ꝓportiõalis ē dupla ad velocitatē prīe et tertie
tripla etc. ſcḋa ipſa ↄ̨tinet bis tã intenſã velocitatē
ſicut ē prīa nõ cõmunicãtē: et tertia pars cõtinet ter
tantam: et ſic cõſequenter. et per conſequens reſidu
um a prima continet vniformiter bis tantam velo
citatem ſicut eſt prima (quãuis nõ adequate. Conti
net enim adhuc maiorem) et reſiduum a ſecunda ꝑ-
te proportionaliter tantaꝫ per totum quamuis in
adequate: et ſic conſequenter ſemper ille partes ex-
cedunt ſe continuo per equalem velocitatem veloci
tati prime partis ꝓportionalis. Hoc ſuppoſito
pore per partes ꝓportionales quauis ꝓportione:
et ſit aliquod mobile quod aliquãta velocitate mo-
ueatur in prima parte ꝓportionali et in ſecunda in
duplo maiori ꝙ̄ in prima: et in tertia in triplo ma-
iori ꝙ̄ in prima: et in quarta in quadruplo maiori /
et ſic conſequenter aſcendendo per omnes ſpecies
proportionis multiplicis: talis velocitas totius il
lius temporis et omnium illarum partium propor
tionalium ſe habet ad velocitatem prime partis ꝓ
portionalis in ea proportione in qua ſe habet to-
tum illud tempus ſic diuiſuꝫ in ordine ad primam
partem proportionalem. vt ſi illud tp̄s diuiſim fue
rit in partes proportionales ꝓportione ſexquial-
tera: et velocitates illarum partium proportiona-
lium diſponantur modo quo ponit concluſio: tunc
dico / totalis illa velocitas totius illius temporis
adequate ſe habet ad velocitatem prime partis ꝓ-
portionalis in proportione tripla. ex eo totū tē-
pus diuiſuꝫ ꝑ partes proportionales proportione
ſexquialtera ſe habet ad primam proportionalem
in proportiõe tripla. Eſt enim ṗma pars vna tertia
totius / vt oſtendit quarta cõcluſio quinti capituli p̄
me partis huius operis. Probatur tamen vniuer
ſaltter hec cõcluſio. et ſuppono / quando velocita-
tes ſe habent eo mõ q̊ textꝰ cõcluſionis pretēdit tūc
ꝑ totū tp̄s extendit̄̄ illa velocitas / q̄ extendit̄̄ ꝑ ṗmã
partem proportionalem, et ꝑ totum reſiduū a prīa
extenditur tanta adequate nõ cõicans cum prima ꝑ
totum corpus extenſa, et per totum reſiduum a pri-
ma et ſecunda ꝑte proportionali iterum extenditur
tanta velocitas adequate nõ cõmunicans cum aliq̈
precedeutinm: et ſic cõſequenter. Hec ſuppoſitio pa
tet manifeſte intuenti: qm̄ ſi velocitas ſecunde par-
tis ꝓportiõalis ē dupla ad velocitatē prīe et tertie
tripla etc. ſcḋa ipſa ↄ̨tinet bis tã intenſã velocitatē
ſicut ē prīa nõ cõmunicãtē: et tertia pars cõtinet ter
tantam: et ſic cõſequenter. et per conſequens reſidu
um a prima continet vniformiter bis tantam velo
citatem ſicut eſt prima (quãuis nõ adequate. Conti
net enim adhuc maiorem) et reſiduum a ſecunda ꝑ-
te proportionaliter tantaꝫ per totum quamuis in
adequate: et ſic conſequenter ſemper ille partes ex-
cedunt ſe continuo per equalem velocitatem veloci
tati prime partis ꝓportionalis. Hoc ſuppoſito
Probatur cõcluſio et volo / hora ſit diuiſa ꝑ par-
tes ꝓportionales aliq̈ proportione (quauis libue-
rit) que ſit g. et coextēdantur ille velocitates / vt dicit
tes ꝓportionales aliq̈ proportione (quauis libue-
rit) que ſit g. et coextēdantur ille velocitates / vt dicit