156118NOUVEAU COURS
prouver que a.
b:
:d.
f, on n’a qu’à mettre à la place de a &
de b dans la proportion leurs valeurs cd & cf pour avoir cd.
cf: :d. f, qui donnera cdf = cdf pour le produit des ex -
trêmes & des moyens.
de b dans la proportion leurs valeurs cd & cf pour avoir cd.
cf: :d. f, qui donnera cdf = cdf pour le produit des ex -
trêmes & des moyens.
PROPOSITION IX.
Ttheoreme.
225.
Si l’on multiplie deux proportions, termes par termes,
les produits qui en réſulteront ſeront encore en proportion.
les produits qui en réſulteront ſeront encore en proportion.
Demonstration.
Soient les deux proportions a.
b:
:c.
d, &
l’autre f.
g:
: m.
n,
il faut prouver que af. bg: :cm. dn, ou que bgcm = afdn, c’eſt -
à - dire que le produit des extrêmes eſt égal à celui des moyens.
Pour cela, conſidérez que bgcm = bcgm = bc x gm, & que
afdn = adfn = ad x fn: mais ad = bc, puiſque a. b: :c. d, &
gm = fn, puiſque f. g: :m. n. Donc bgcm = afdn, c’eſt-à-
dire qu’il y a proportion, puiſque le produit des extrêmes eſt
égal à celui des moyens.
il faut prouver que af. bg: :cm. dn, ou que bgcm = afdn, c’eſt -
à - dire que le produit des extrêmes eſt égal à celui des moyens.
Pour cela, conſidérez que bgcm = bcgm = bc x gm, & que
afdn = adfn = ad x fn: mais ad = bc, puiſque a. b: :c. d, &
gm = fn, puiſque f. g: :m. n. Donc bgcm = afdn, c’eſt-à-
dire qu’il y a proportion, puiſque le produit des extrêmes eſt
égal à celui des moyens.
Corollaire.
226.
Il ſuit de cette propoſition, que ſi quatre grandeurs ſont
en proportion géométrique, leurs quarrés, leurs cubes, ou en
général les mêmes puiſſances de ces grandeurs y ſeront auſſi,
c’eſt - à - dire que ſi l’on a a. b: :c. d, on aura a2. b2: :c2. d2,
ou a3. b3: :c3. d3: car en multipliant la proportion a. b: :c. d
par elle - même une ou pluſieurs fois, on retombe dans le cas
de la propoſition préſente. D’ailleurs il eſt aiſé de voir que
dans tous ces cas le produit des extrêmes eſt égal à celui des
moyens.
en proportion géométrique, leurs quarrés, leurs cubes, ou en
général les mêmes puiſſances de ces grandeurs y ſeront auſſi,
c’eſt - à - dire que ſi l’on a a. b: :c. d, on aura a2. b2: :c2. d2,
ou a3. b3: :c3. d3: car en multipliant la proportion a. b: :c. d
par elle - même une ou pluſieurs fois, on retombe dans le cas
de la propoſition préſente. D’ailleurs il eſt aiſé de voir que
dans tous ces cas le produit des extrêmes eſt égal à celui des
moyens.
PROPOSITION X.
Theoreme.
227.
Dans une proportion continue, le quarré du premier terme
eſt au quarré du ſecond, comme le premier au troiſieme; c’eſt-à-
dire que ſi l’on a la proportion continue {. ./. .} a. b. c, ou a. b: :b. c,
on aura auſſi a2. b2: :a. c.
eſt au quarré du ſecond, comme le premier au troiſieme; c’eſt-à-
dire que ſi l’on a la proportion continue {. ./. .} a. b. c, ou a. b: :b. c,
on aura auſſi a2. b2: :a. c.
Demonstration.
Puiſque a.
b:
:b.
c, on aura bb = ac, &
multipliant chaque
membre de cette égalité par a, on aura abb = a2c; d’où
membre de cette égalité par a, on aura abb = a2c; d’où