157119DE MATHÉMATIQUE. Liv. II.
tire la proportion a2.
b2:
:a.
c;
car nous avons déja vu que
lorſque l’on a une équation on en peut tirer une proportion,
& réciproquement d’une proportion, on en peut toujours tirer
une équation (art. 212). C. Q. F. D.
lorſque l’on a une équation on en peut tirer une proportion,
& réciproquement d’une proportion, on en peut toujours tirer
une équation (art. 212). C. Q. F. D.
Des Proportions & Progreſſions arithmétiques.
228.
Nous avons déja dit qu’une proportion arithmétique
eſt l’égalité de deux rapports arithmétiques, & qu’elle réſulte
de quatre nombres, tels que le premier ſurpaſſe le ſecond,
d’autant que le troiſieme ſurpaſſe le quatrieme, comme dans
les nombres ſuivans, 2. 5: 6. 9′, qui ſont en proportion arith -
métique.
eſt l’égalité de deux rapports arithmétiques, & qu’elle réſulte
de quatre nombres, tels que le premier ſurpaſſe le ſecond,
d’autant que le troiſieme ſurpaſſe le quatrieme, comme dans
les nombres ſuivans, 2. 5: 6. 9′, qui ſont en proportion arith -
métique.
PROPOSITION XI.
Theoreme.
229.
Lorſque quatre grandeurs ſont en proportion arithmétique,
la ſomme des extrêmes eſt égale à celle des moyens; c’eſt-à-dire que
ſi l’on a a. b: c. d, on aura a + d = b + c.
la ſomme des extrêmes eſt égale à celle des moyens; c’eſt-à-dire que
ſi l’on a a. b: c. d, on aura a + d = b + c.
Demonstration.
Puiſqu’il y a proportion entre les quatre grandeurs a,b,c,d,
& qu’une proportion n’eſt que l’égalité de rapports, l’excès
de b ſur a ſera égal à celui de d ſur c: ſuppoſant que cet excès
ſoit une quantité f, on aura b = a + f; & de même d = c
+ f. Donc au lieu de la proportion a. b: c. d, on aura celle -
ci, a. a + f: c. c + f: prenant la ſomme des extrêmes &
des moyens de cette nouvelle proportion, égale à la premiere,
on aura a + c + f = a + f + c; ce qui eſt bien évident,
puiſque tout eſt égal de part & d’autre. C. Q. F. D.
& qu’une proportion n’eſt que l’égalité de rapports, l’excès
de b ſur a ſera égal à celui de d ſur c: ſuppoſant que cet excès
ſoit une quantité f, on aura b = a + f; & de même d = c
+ f. Donc au lieu de la proportion a. b: c. d, on aura celle -
ci, a. a + f: c. c + f: prenant la ſomme des extrêmes &
des moyens de cette nouvelle proportion, égale à la premiere,
on aura a + c + f = a + f + c; ce qui eſt bien évident,
puiſque tout eſt égal de part & d’autre. C. Q. F. D.
Corollaire I.
230.
Il ſuit delà, que ſi l’on connoît trois termes quelcon -
ques d’une proportion arithmétique, on connoîtra auſſi le qua -
trieme: par exemple, ſi l’on donne ces trois nombres 2, 5, 7
pour les trois premiers termes d’une proportion arithmétique,
dont on demande le quatrieme, ſoit x ce quatrieme terme,
on aura 2. 5: 7. x: donc 2 + x = 5 + 7; & ôtant de chaque
membre le même nombre 2, on aura 2 + x - 2, ou x = 5
+ 7 - 2 = 10; ce qui eſt bien évident, puiſque l’excés
ques d’une proportion arithmétique, on connoîtra auſſi le qua -
trieme: par exemple, ſi l’on donne ces trois nombres 2, 5, 7
pour les trois premiers termes d’une proportion arithmétique,
dont on demande le quatrieme, ſoit x ce quatrieme terme,
on aura 2. 5: 7. x: donc 2 + x = 5 + 7; & ôtant de chaque
membre le même nombre 2, on aura 2 + x - 2, ou x = 5
+ 7 - 2 = 10; ce qui eſt bien évident, puiſque l’excés
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