159121DE MATHÉMATIQUE. Liv. II.
PROPOSITION XII.
Theoreme.
233.
Si quatre grandeurs ſont telles que la ſomme des extrêmes,
ſoit égale à celle des moyens, ces quatre grandeurs ſont en pro -
portion arithmétique; c’eſt - à - dire que ſi les quatre grandeurs
a, b, c, d ſont telles que a + d, ſomme des extrêmes, ſoit égale à
c + d, ſomme des moyens, on aura a. b: c. d.
ſoit égale à celle des moyens, ces quatre grandeurs ſont en pro -
portion arithmétique; c’eſt - à - dire que ſi les quatre grandeurs
a, b, c, d ſont telles que a + d, ſomme des extrêmes, ſoit égale à
c + d, ſomme des moyens, on aura a. b: c. d.
Demonstration.
Tout ſe réduit à prouver que l’excès de a ſur b eſt égal à
celui de c par d, ou réciproquement que l’excès de b ſur a eſt
égal à celui de d ſur c; puiſque a + d = b + c, en ajoutant
de part & d’autre de cette égalité la même quantité, on ne
changera pas l’égalité. Ajoutons dans chaque membre la
quantité négative - b - d, on aura a + d - b - d = c + d
- b - d, ou a - b = c - d, puiſque + d - d ſe détruiſent
dans le premier membre; & que - b + b ſe détruiſent dans
le ſecond: donc l’excès de a ſur b eſt égal à celui de c ſur d,
on prouveroit avec la même facilité que l’excès de b ſur a eſt
égal à celui de d ſur c: donc ſi quatre grandeurs ſont telles,
que la ſomme des extrêmes ſoit égale à celle des moyens, ces
quatre grandeurs ſont en proportion arithmétique. C. Q. F. D.
celui de c par d, ou réciproquement que l’excès de b ſur a eſt
égal à celui de d ſur c; puiſque a + d = b + c, en ajoutant
de part & d’autre de cette égalité la même quantité, on ne
changera pas l’égalité. Ajoutons dans chaque membre la
quantité négative - b - d, on aura a + d - b - d = c + d
- b - d, ou a - b = c - d, puiſque + d - d ſe détruiſent
dans le premier membre; & que - b + b ſe détruiſent dans
le ſecond: donc l’excès de a ſur b eſt égal à celui de c ſur d,
on prouveroit avec la même facilité que l’excès de b ſur a eſt
égal à celui de d ſur c: donc ſi quatre grandeurs ſont telles,
que la ſomme des extrêmes ſoit égale à celle des moyens, ces
quatre grandeurs ſont en proportion arithmétique. C. Q. F. D.
Corollaire.
234.
Il ſuit delà, que l’on aura toujours prouvé que quatre
grandeurs ſont en proportion arithmétique, dès qu’on aura
démontré que la ſomme des extrêmcs eſt égale à celle des
moyens. Il ſuit encore de cette propoſition, que l’on peut faire
ſur cette proportion les changemens appellés alternando & in -
vertendo ſans la détruire: car il eſt évident que ſi l’on a 3. 5: 7. 9,
on aura auſſi 3. 7: 5. 9, & 5. 3: 9. 7.
grandeurs ſont en proportion arithmétique, dès qu’on aura
démontré que la ſomme des extrêmcs eſt égale à celle des
moyens. Il ſuit encore de cette propoſition, que l’on peut faire
ſur cette proportion les changemens appellés alternando & in -
vertendo ſans la détruire: car il eſt évident que ſi l’on a 3. 5: 7. 9,
on aura auſſi 3. 7: 5. 9, & 5. 3: 9. 7.
Définitions.
235.
Si pluſieurs grandeurs ſont telles, que toutes ſe ſur -
paſſent également les unes les autres, on appelle progreſſion
arithmétique, la ſuite de rapports égaux qui en réſulte. La
progreſſion arithmétique ſe marque de la même maniere que
la proportion continue: ainſi {. /. } a. b. c. d. f marque que les
grandeurs a, b, c, d ſont en progreſſion arithmétique.
paſſent également les unes les autres, on appelle progreſſion
arithmétique, la ſuite de rapports égaux qui en réſulte. La
progreſſion arithmétique ſe marque de la même maniere que
la proportion continue: ainſi {. /. } a. b. c. d. f marque que les
grandeurs a, b, c, d ſont en progreſſion arithmétique.