Bélidor, Bernard Forest de, Nouveau cours de mathématique à l' usage de l' artillerie et du génie : où l' on applique les parties les plus utiles de cette science à la théorie & à la pratique des différens sujets qui peuvent avoir rapport à la guerre

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          <head xml:id="echoid-head223" xml:space="preserve">PROPOSITION XII.</head>
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            <emph style="sc">Theoreme</emph>
          .</head>
          <p style="it">
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            <s xml:id="echoid-s4102" xml:space="preserve">Si quatre grandeurs ſont telles que la ſomme des extrêmes,
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            ſoit égale à celle des moyens, ces quatre grandeurs ſont en pro -
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            portion arithmétique; </s>
            <s xml:id="echoid-s4103" xml:space="preserve">c’eſt - à - dire que ſi les quatre grandeurs
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            a, b, c, d ſont telles que a + d, ſomme des extrêmes, ſoit égale à
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            c + d, ſomme des moyens, on aura a. </s>
            <s xml:id="echoid-s4104" xml:space="preserve">b: </s>
            <s xml:id="echoid-s4105" xml:space="preserve">c. </s>
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            <emph style="sc">Demonstration</emph>
          .</head>
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            <s xml:id="echoid-s4108" xml:space="preserve">Tout ſe réduit à prouver que l’excès de a ſur b eſt égal à
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            celui de c par d, ou réciproquement que l’excès de b ſur a eſt
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            égal à celui de d ſur c; </s>
            <s xml:id="echoid-s4109" xml:space="preserve">puiſque a + d = b + c, en ajoutant
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            de part & </s>
            <s xml:id="echoid-s4110" xml:space="preserve">d’autre de cette égalité la même quantité, on ne
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            changera pas l’égalité. </s>
            <s xml:id="echoid-s4111" xml:space="preserve">Ajoutons dans chaque membre la
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            quantité négative - b - d, on aura a + d - b - d = c + d
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            - b - d, ou a - b = c - d, puiſque + d - d ſe détruiſent
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            dans le premier membre; </s>
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            le ſecond: </s>
            <s xml:id="echoid-s4114" xml:space="preserve">donc l’excès de a ſur b eſt égal à celui de c ſur d,
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            on prouveroit avec la même facilité que l’excès de b ſur a eſt
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            égal à celui de d ſur c: </s>
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            que la ſomme des extrêmes ſoit égale à celle des moyens, ces
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            quatre grandeurs ſont en proportion arithmétique. </s>
            <s xml:id="echoid-s4116" xml:space="preserve">C. </s>
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            <emph style="sc">Corollaire</emph>
          .</head>
          <p>
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            grandeurs ſont en proportion arithmétique, dès qu’on aura
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            moyens. </s>
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            ſur cette proportion les changemens appellés alternando & </s>
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            vertendo ſans la détruire: </s>
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            <emph style="sc">Définitions</emph>
          .</head>
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            <s xml:id="echoid-s4138" xml:space="preserve">Si pluſieurs grandeurs ſont telles, que toutes ſe ſur -
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            paſſent également les unes les autres, on appelle progreſſion
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            arithmétique, la ſuite de rapports égaux qui en réſulte. </s>
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            progreſſion arithmétique ſe marque de la même maniere que
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            la proportion continue: </s>
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            grandeurs a, b, c, d ſont en progreſſion arithmétique.</s>
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