160
¶ Sequitur ſecūdo / diuiſa hora ꝑ partes ꝓpor-
tionales ꝓportiõe ſuꝑtripartienti quartas cuiuſli
bet partis velocitate ſe habente ad velocitatē par-
tis maioris īmediate precedentis in ꝓportione ſex
quialtera ſpaciū pertranſitū in tota hora ſe habet
ad ſpaciū pertranſitū in prima parte proportionali
in ꝓportione ſeptupla: abſoluto pedali in prima
parte: ſeptē pedalia in tota hora abſoluētur. Pro
batur hoc correlariū ex cõcluſione īmediate precedē
ti: quia partes ꝓportionales tēporis ſe habent cõ-
tinuo in ꝓportione ſuꝑtripartienti quartas: et ve-
locitates partiū īmediatarū ſe habent in ꝓportiõe
ſexq̇altera / vt ponit caſus: et ꝓportio ſuꝑtripartiēs
q̈rtas excedit ꝓportionē ſexquialteram ꝑ .4. ꝓpor-
tionē ſexquiſextaꝫ / vt ptꝫ in his terminis .7.6.4. / igr̄
ſpaciū ꝑtranſitū in toto tēpore ſe habebit ad ſpa-
cium pertranſitū in prima parte proportionali in
ꝓportione ſeptupla / quod fuit ꝓbandū. Patet cõ-
ſequentia ex cõcluſione ſeptima: hoc adiecto / cor
pus diuiſum proportione ſexquiſexta ſe habet ad
primã ſui partē in ꝓportione ſeptupla: vt patet ex
prima parte huiꝰ operis. Familiarius tamen ꝓba
tur ſic, et ſuppono / mobile ꝑtranſit in prima par
te proportionali vnum pedale, et arguo ſic / mobile
pertranſit in prima parte proportionali vnum pe
dale: et in ſecunda in ſexquiſexto minus, et in tertia
in ſexquiſexto minꝰ ꝙ̄ in ſecunda: et ſic conſequēter
ꝓcedendo per ꝓportiones ſexquiſextas: igitur to-
tale ſpaciū componitur ex illis infinitis continuo
ſe habentibus in ꝓportione ſexquiſexta: ergo ag-
gregatū ex omnibꝰ ſequētibus primã eſt ſextupluꝫ
ad primū / vt ptꝫ ex prima parte huiꝰ operis capite
quinto: et primū eſt vnū pedale: ergo totū reſiduum
eſt ſextupedale, et ꝑ cõſequens totū ſpaciū eſt ſeptē
pedū / quod ſe habet in proportiõe ſeptupla ad vnū
pedale ꝑtranſitū in prima parte ꝓportiõali / quod
fuit ꝓbandum. Probatur tamen antecedens vide
licet / illud mobile in qualibet parte ſequenti per
tranſit ſubſexquiſextū ſpaciū ad ſpaciū ꝑtranſitū
in īmediate p̄cedenti, quia prime partis ꝓportio-
nalis ad ſecundã eſt ꝓportio ſuꝑtripartiens quar-
tas, et velocitatis ſecunde partis ꝓportionalis ad
velocitatē prime eſt ꝓportio ſexquialtera: ſed ꝓpor
tio ſuꝑtripartiens quartas tempoꝝ excedit ꝓpor-
tionē velocitatū ſexquialterã per ꝓportionē ſexqni
ſextam / vt notū eſt: igitur ſpaciū pertranſitū in ſe-
cunda parte ꝓportionali eſt ſubſexquiſextū ad ſpa
cium pertranſitū in prima. Patet conſequentia / ex
ſexta ꝓpoſitione ſecundi notabilis ſepius allega-
ta. Et ſic ꝓbabis de ſpacio pertranſito in tertia ad
ſpacium ꝑtranſitum in ſecunda, et de ſpaciis ꝑtrã-
ſitis in duabus partibus īmmediatis quibuſcun
ſignatis: ergo cõtinuo ſpaciū pertranſitū in aliqua
parte ꝓportionali ſequente eſt ſubſexquiſextū ad
ſpacium ꝑtranſiium in parte īmediate precedente:
quod fuit ꝓbanduꝫ. Inferas tuo ingenio et labore
ſimilia infinita correlaria. Iſta enim ſufficiūt pro
praxi concluſionis.
tionales ꝓportiõe ſuꝑtripartienti quartas cuiuſli
bet partis velocitate ſe habente ad velocitatē par-
tis maioris īmediate precedentis in ꝓportione ſex
quialtera ſpaciū pertranſitū in tota hora ſe habet
ad ſpaciū pertranſitū in prima parte proportionali
in ꝓportione ſeptupla: abſoluto pedali in prima
parte: ſeptē pedalia in tota hora abſoluētur. Pro
batur hoc correlariū ex cõcluſione īmediate precedē
ti: quia partes ꝓportionales tēporis ſe habent cõ-
tinuo in ꝓportione ſuꝑtripartienti quartas: et ve-
locitates partiū īmediatarū ſe habent in ꝓportiõe
ſexq̇altera / vt ponit caſus: et ꝓportio ſuꝑtripartiēs
q̈rtas excedit ꝓportionē ſexquialteram ꝑ .4. ꝓpor-
tionē ſexquiſextaꝫ / vt ptꝫ in his terminis .7.6.4. / igr̄
ſpaciū ꝑtranſitū in toto tēpore ſe habebit ad ſpa-
cium pertranſitū in prima parte proportionali in
ꝓportione ſeptupla / quod fuit ꝓbandū. Patet cõ-
ſequentia ex cõcluſione ſeptima: hoc adiecto / cor
pus diuiſum proportione ſexquiſexta ſe habet ad
primã ſui partē in ꝓportione ſeptupla: vt patet ex
prima parte huiꝰ operis. Familiarius tamen ꝓba
tur ſic, et ſuppono / mobile ꝑtranſit in prima par
te proportionali vnum pedale, et arguo ſic / mobile
pertranſit in prima parte proportionali vnum pe
dale: et in ſecunda in ſexquiſexto minus, et in tertia
in ſexquiſexto minꝰ ꝙ̄ in ſecunda: et ſic conſequēter
ꝓcedendo per ꝓportiones ſexquiſextas: igitur to-
tale ſpaciū componitur ex illis infinitis continuo
ſe habentibus in ꝓportione ſexquiſexta: ergo ag-
gregatū ex omnibꝰ ſequētibus primã eſt ſextupluꝫ
ad primū / vt ptꝫ ex prima parte huiꝰ operis capite
quinto: et primū eſt vnū pedale: ergo totū reſiduum
eſt ſextupedale, et ꝑ cõſequens totū ſpaciū eſt ſeptē
pedū / quod ſe habet in proportiõe ſeptupla ad vnū
pedale ꝑtranſitū in prima parte ꝓportiõali / quod
fuit ꝓbandum. Probatur tamen antecedens vide
licet / illud mobile in qualibet parte ſequenti per
tranſit ſubſexquiſextū ſpaciū ad ſpaciū ꝑtranſitū
in īmediate p̄cedenti, quia prime partis ꝓportio-
nalis ad ſecundã eſt ꝓportio ſuꝑtripartiens quar-
tas, et velocitatis ſecunde partis ꝓportionalis ad
velocitatē prime eſt ꝓportio ſexquialtera: ſed ꝓpor
tio ſuꝑtripartiens quartas tempoꝝ excedit ꝓpor-
tionē velocitatū ſexquialterã per ꝓportionē ſexqni
ſextam / vt notū eſt: igitur ſpaciū pertranſitū in ſe-
cunda parte ꝓportionali eſt ſubſexquiſextū ad ſpa
cium pertranſitū in prima. Patet conſequentia / ex
ſexta ꝓpoſitione ſecundi notabilis ſepius allega-
ta. Et ſic ꝓbabis de ſpacio pertranſito in tertia ad
ſpacium ꝑtranſitum in ſecunda, et de ſpaciis ꝑtrã-
ſitis in duabus partibus īmmediatis quibuſcun
ſignatis: ergo cõtinuo ſpaciū pertranſitū in aliqua
parte ꝓportionali ſequente eſt ſubſexquiſextū ad
ſpacium ꝑtranſiium in parte īmediate precedente:
quod fuit ꝓbanduꝫ. Inferas tuo ingenio et labore
ſimilia infinita correlaria. Iſta enim ſufficiūt pro
praxi concluſionis.
Octaua cõcluſio.
Partita hora ꝑ part
tes ꝓportionales quauis ꝓportione volueris, et in
certa ꝓportione continuo velocius mobile moueat̄̄
in parte p̄cedente maiore quã in īmediate ſequenti
minori: ſpaciū ꝑtranſitum in totali hora ſe habe-
bit ad ſpaciū ꝑtranſitum in prima parte ꝓportio-
nali in ꝓportione qua ſe habet aliquod totū diui-
ſum in partes ꝓportionales ꝓportione compoſi-
ta ex proportione temporis puta partis propor-
tionalis maioris ad partem immediate ſequenteꝫ
minorem, et velocitatis partis maioris ad veloci-
tatem partis minoris ad primam partem prpor-
tionalem talis diuiſionis. Hoc inuolutum theo-
rema exemplari declaratione reſoluatur: volo em̄
dicere / conſciſa hora per partes proportionales
proportione dupla, et in prima parte proportiõa-
li aliquod mobile moueatur aliquanta velocitate
q̄ in ſecunda parte proportionali in ſexquialtero
minori velocitate, et in tertia in ſexquialtero mīor
velocitate quã in ſecūda, et ſic cõſequēter ita cu-
iuſlꝫ ꝑtis p̄cedētis maioris velocitas ad velocitatē
mīoris īmediate ſequētꝪ ſexq̇alterã ꝓportionē ha-
beat: tūc dicit theorema poſitū. ſpaciū ꝑtranſitū in
totali hora ſe habere ad ſpaciū ꝑtranſitū in prima
parte proportionali in proportione ſequialtera:
qm̄ proportio compoſita ex proportione dupla tē
porum et ſexquialtera velocitatū eſt tripla: et quod
libet totū diuiſum per partes proportione tripla
ſe habet ad primã proportionalem partem eius in
proportione ſexquialtera. Probatur tamen vni-
uerſaliter cõcluſio: ſit hora diuiſa per partes pro-
portionales portiõe g. et moueatur mobile in ali-
qua certa proportione velocius continuo in parte
p̄cedenti maiore quam in minore ſequente ita cõ
tinuo maior velocitas ſit in parte maiori quam in
minore īmediate ſequente, ſit proportio cõtinuo
velocitatis partis maioris ad velocitatem partis
minoris f. compoſita proportio ex g. et f. ſit h. / tūc
ſpaciū ꝑtranſitum in totali hora ſe pabet ad ſpa-
cium ꝑtranſitum in prima parte proportionali in
ꝓportione in qua ſe habet aliquod totum diuiſum
in partes proportionales ꝓportione h. ad primaꝫ
partem ꝓportionalē eiuſdem diuiſionis videlicet
proportione h. Quod probatur ſic / quia ſpacii ꝑ-
tranſiti in prima parte proportionali ad ſpacium
ꝑtranſitū in ſecunda parte ꝓportionali eſt propor
tio h. et ſpacii ꝑtranſiti in ſecunda ad ſpaciū ꝑtran
ſiti in tertia eſt etiam proportio h. / et ſic conſequen-
ter de ſpaciis ꝑtranſitis in duabus partibus pro-
portionalibus īmediatis quibuſuis demonſtratis /
ergo totale ſpaciū ꝑtrãſitū in tota hora componit̄̄
ex infinitis continuo ſe habentibus in proportione
h. / igitur totale ſpaciū ſe habet ad primū illoꝝ ſpa
ciorum / quod eſt ꝑtranſitū in prima parte propor-
tionali in proportiõe in qua ſe habet aliquod totū
diuiſum ꝑ partes ꝓportionales proportione h. ad
primã eius partē / quod fuit probandū. Patet con-
ſequentia / quia eodem modo ſe habent illa ſpacia
continuo ſe habentia in proportione h. ſicut ſe ha-
bent partes proportionales alicuiꝰ continui pro-
portiõe h. Probatur tamen añs videlicet / ſpacii
ꝑtranſiti in prima parte ꝓportionali ad ſpaciū ꝑ-
tranſitū in ſecūda eſt ꝓpertio h. et ſpacii ꝑtrãſiti in
ſcḋa ad ſpaciū ꝑtranſitum in tertia etc̈. quia prima
pars proportionalis eſt maius tempus quã ſecun-
da in g. proportione, et ei coextenditur velocitas in
tenſior quam ſeēunde in f. proportione / vt dici hipo
teſis: et h. proportio eſt proportio cõpoſita ex g. et f.
proportionibus ex hypoteſi: igitur ſpaciū ꝑtranſi
tum in prima parte ꝓportiõali ſe habet ad ſpaciū
ꝑtrãſitū in ſecūda in h. ꝓportiõe. Cõſimili argumē
to ꝓbabis de quibuſcū ſpaciis ꝑtranſitis in qui
buſcū duabus partibus immediatis: quod erat
inferendum. Patet tamen conſequentia ꝑ tertiam
propoſitionem ſecundi notabilis huius queſtiõis.
11Correĺ. ¶ Ex hac ſolutione ſequitur primo / partitiõe ho
re facta ꝑ partes proportionales proportione ſu-
prabipartiēte tertias, et in prima parte ꝓporõali
moueatur aliquod mobile aliquãta velocitate, et ī
ſecunda in ſuprabipartiente quintas minore et in
tertia in eadē proportiõe ſuprabipartiēte quintas
tes ꝓportionales quauis ꝓportione volueris, et in
certa ꝓportione continuo velocius mobile moueat̄̄
in parte p̄cedente maiore quã in īmediate ſequenti
minori: ſpaciū ꝑtranſitum in totali hora ſe habe-
bit ad ſpaciū ꝑtranſitum in prima parte ꝓportio-
nali in ꝓportione qua ſe habet aliquod totū diui-
ſum in partes ꝓportionales ꝓportione compoſi-
ta ex proportione temporis puta partis propor-
tionalis maioris ad partem immediate ſequenteꝫ
minorem, et velocitatis partis maioris ad veloci-
tatem partis minoris ad primam partem prpor-
tionalem talis diuiſionis. Hoc inuolutum theo-
rema exemplari declaratione reſoluatur: volo em̄
dicere / conſciſa hora per partes proportionales
proportione dupla, et in prima parte proportiõa-
li aliquod mobile moueatur aliquanta velocitate
q̄ in ſecunda parte proportionali in ſexquialtero
minori velocitate, et in tertia in ſexquialtero mīor
velocitate quã in ſecūda, et ſic cõſequēter ita cu-
iuſlꝫ ꝑtis p̄cedētis maioris velocitas ad velocitatē
mīoris īmediate ſequētꝪ ſexq̇alterã ꝓportionē ha-
beat: tūc dicit theorema poſitū. ſpaciū ꝑtranſitū in
totali hora ſe habere ad ſpaciū ꝑtranſitū in prima
parte proportionali in proportione ſequialtera:
qm̄ proportio compoſita ex proportione dupla tē
porum et ſexquialtera velocitatū eſt tripla: et quod
libet totū diuiſum per partes proportione tripla
ſe habet ad primã proportionalem partem eius in
proportione ſexquialtera. Probatur tamen vni-
uerſaliter cõcluſio: ſit hora diuiſa per partes pro-
portionales portiõe g. et moueatur mobile in ali-
qua certa proportione velocius continuo in parte
p̄cedenti maiore quam in minore ſequente ita cõ
tinuo maior velocitas ſit in parte maiori quam in
minore īmediate ſequente, ſit proportio cõtinuo
velocitatis partis maioris ad velocitatem partis
minoris f. compoſita proportio ex g. et f. ſit h. / tūc
ſpaciū ꝑtranſitum in totali hora ſe pabet ad ſpa-
cium ꝑtranſitum in prima parte proportionali in
ꝓportione in qua ſe habet aliquod totum diuiſum
in partes proportionales ꝓportione h. ad primaꝫ
partem ꝓportionalē eiuſdem diuiſionis videlicet
proportione h. Quod probatur ſic / quia ſpacii ꝑ-
tranſiti in prima parte proportionali ad ſpacium
ꝑtranſitū in ſecunda parte ꝓportionali eſt propor
tio h. et ſpacii ꝑtranſiti in ſecunda ad ſpaciū ꝑtran
ſiti in tertia eſt etiam proportio h. / et ſic conſequen-
ter de ſpaciis ꝑtranſitis in duabus partibus pro-
portionalibus īmediatis quibuſuis demonſtratis /
ergo totale ſpaciū ꝑtrãſitū in tota hora componit̄̄
ex infinitis continuo ſe habentibus in proportione
h. / igitur totale ſpaciū ſe habet ad primū illoꝝ ſpa
ciorum / quod eſt ꝑtranſitū in prima parte propor-
tionali in proportiõe in qua ſe habet aliquod totū
diuiſum ꝑ partes ꝓportionales proportione h. ad
primã eius partē / quod fuit probandū. Patet con-
ſequentia / quia eodem modo ſe habent illa ſpacia
continuo ſe habentia in proportione h. ſicut ſe ha-
bent partes proportionales alicuiꝰ continui pro-
portiõe h. Probatur tamen añs videlicet / ſpacii
ꝑtranſiti in prima parte ꝓportionali ad ſpaciū ꝑ-
tranſitū in ſecūda eſt ꝓpertio h. et ſpacii ꝑtrãſiti in
ſcḋa ad ſpaciū ꝑtranſitum in tertia etc̈. quia prima
pars proportionalis eſt maius tempus quã ſecun-
da in g. proportione, et ei coextenditur velocitas in
tenſior quam ſeēunde in f. proportione / vt dici hipo
teſis: et h. proportio eſt proportio cõpoſita ex g. et f.
proportionibus ex hypoteſi: igitur ſpaciū ꝑtranſi
tum in prima parte ꝓportiõali ſe habet ad ſpaciū
ꝑtrãſitū in ſecūda in h. ꝓportiõe. Cõſimili argumē
to ꝓbabis de quibuſcū ſpaciis ꝑtranſitis in qui
buſcū duabus partibus immediatis: quod erat
inferendum. Patet tamen conſequentia ꝑ tertiam
propoſitionem ſecundi notabilis huius queſtiõis.
11Correĺ. ¶ Ex hac ſolutione ſequitur primo / partitiõe ho
re facta ꝑ partes proportionales proportione ſu-
prabipartiēte tertias, et in prima parte ꝓporõali
moueatur aliquod mobile aliquãta velocitate, et ī
ſecunda in ſuprabipartiente quintas minore et in
tertia in eadē proportiõe ſuprabipartiēte quintas