160122NOUVEAU COURS
236.
On diſtingue deux principales ſortes de progreſſions
arithmétiques; progreſſion arithmétique croiſſante, & progreſ -
ſion arithmétique décroiſſante. La premiere eſt celle où les ter -
mes vont en augmentant, & dans laquelle chaque terme eſt
moindre que celui qui le ſuit; la ſeconde eſt celle où les ter -
mes vont en diminuant, ou, ce qui revient au même, dans
laquelle chacun eſt plus grand que celui qui le ſuit, comme
dans les deux progreſſions ſuivantes, dont la premiere eſt
croiſſante, & la ſeconde décroiſſante. {. /. } 2. 5. 7. 9. 11. 13, &
{. /. } 15. 12. 9. 6. 3. 1. Chacune de ces deux ſortes de pro -
greſſions, en contiennent une infinité de différentes, ſelon
les différens rapports qui régnent dans chaque progreſſion en
particulier.
arithmétiques; progreſſion arithmétique croiſſante, & progreſ -
ſion arithmétique décroiſſante. La premiere eſt celle où les ter -
mes vont en augmentant, & dans laquelle chaque terme eſt
moindre que celui qui le ſuit; la ſeconde eſt celle où les ter -
mes vont en diminuant, ou, ce qui revient au même, dans
laquelle chacun eſt plus grand que celui qui le ſuit, comme
dans les deux progreſſions ſuivantes, dont la premiere eſt
croiſſante, & la ſeconde décroiſſante. {. /. } 2. 5. 7. 9. 11. 13, &
{. /. } 15. 12. 9. 6. 3. 1. Chacune de ces deux ſortes de pro -
greſſions, en contiennent une infinité de différentes, ſelon
les différens rapports qui régnent dans chaque progreſſion en
particulier.
PROPOSITION XIII.
Theoreme.
237.
Dans une progreſſion arithmétique quelconque, la ſomme
de deux termes également éloignés des extrêmes, eſt égale à celle
des mêmes extrêmes.
de deux termes également éloignés des extrêmes, eſt égale à celle
des mêmes extrêmes.
Demonstration.
Soit {.
/.
} a.
b.
e.
d.
f.
g.
h une progreſſion arithmétique croiſſante,
je dis que e + f, ſomme de deux termes également éloignée
des extrêmes, eſt égale à la ſomme des mêmes extrêmes a + h.
Puiſqu’une progreſſion n’eſt qu’une ſuite de rapports égaux,
ſuppoſons que le rapport arithmétique de a à b ſoit c, c’eſt - à -
dire que b ſurpaſſe a de la quantité c, on aura b = a + c, par
la même raiſon b ſera ſurpaſſé par e de la même grandeur c:
donc e = b + c, ou a + c + c = a + 2c. En continuant le
même raiſonnement, on verra que d = a + 3c, que f =
a + 4c, que g = a + 5c, & h = a + 6c: donc au lieu de la
premiere, on aura celle - ci {. /. } a. a + c. a + 2c. a + 3c. a + 4c.
a + 5c. a + 6c, dans laquelle il eſt évident que la ſomme de
deux termes quelconques, également éloignés des extrêmes,
eſt égale à celle des extrêmes. Ainſi la ſomme du troiſieme &
du cinquieme terme eſt 2a + 6c, & la ſomme des extrêmes
eſt auſſi 2a + 6c, c’eſt - à - dire que e + f = a + h. C. Q. F. D.
je dis que e + f, ſomme de deux termes également éloignée
des extrêmes, eſt égale à la ſomme des mêmes extrêmes a + h.
Puiſqu’une progreſſion n’eſt qu’une ſuite de rapports égaux,
ſuppoſons que le rapport arithmétique de a à b ſoit c, c’eſt - à -
dire que b ſurpaſſe a de la quantité c, on aura b = a + c, par
la même raiſon b ſera ſurpaſſé par e de la même grandeur c:
donc e = b + c, ou a + c + c = a + 2c. En continuant le
même raiſonnement, on verra que d = a + 3c, que f =
a + 4c, que g = a + 5c, & h = a + 6c: donc au lieu de la
premiere, on aura celle - ci {. /. } a. a + c. a + 2c. a + 3c. a + 4c.
a + 5c. a + 6c, dans laquelle il eſt évident que la ſomme de
deux termes quelconques, également éloignés des extrêmes,
eſt égale à celle des extrêmes. Ainſi la ſomme du troiſieme &
du cinquieme terme eſt 2a + 6c, & la ſomme des extrêmes
eſt auſſi 2a + 6c, c’eſt - à - dire que e + f = a + h. C. Q. F. D.
Corollaire I.
238.
Si le nombre des termes de la progreſſion
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