163157OPTICAE LIBER V.
culum [per 4 th.
1 conicorũ Apollonij] ꝗ ſit p g:
& ducãtur lineę a g, b g, a b:
& à pũcto g ducatur ad
cẽtrũ circuli linea: q̃ ſit g t: & uertex pyramidis ſit e: à quo ducatur axis: ꝗ erit e t. [per 3 d 1 coni. A-
pol. ] Et ducatur [per 12 p 11] perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ, cõtingentẽ fpeculũ in pũcto g: q̃ ſit h
g: q̃ cũ diuidat angulũ a g b per æqualia, [per 13 n 4] cadet ſuper a b: pũctũ caſus ſit z. Et à uertice py
ramidis ducatur linea lõgitudinis ſpeculi ad punctũ g: [educto nẽpe plano per axem, & perrectã à
puncto g, cũ ipſo utlibet cõcurrentẽ: cõmunis enim fectio huius plani & conicæ ſuperficiei erit la-
tus coni, ք 18 d 11, uel 3 th. 1 coni. Apol. ] quę ſit e g: cui lineæ ducatur æquidiſtãs à pũcto a: [per 31 p 1]
quę neceſſariò ſecabit ſuperficiẽ circuli g p: [ſi enim circulũ cũ diametro infinitè extẽſum cogites:
diameter ſecãs e g conilatus, ſecabit etiã rectã lateri parallelã, per lẽma Procli ad 29 p 1. Quare eadẽ
parallela circulũ ipſum quoq; ſecabit] ſecet in pũcto n: & ſit n a. Similiter à pũcto b ducatur æqui-
diſtãs eidẽ e g, ſcilicet b m: quę ſecet ſuperficiẽ p g in pũcto m. Et à pũcto n ducatur ę ꝗ diſtãs ipſi g t:
quę ſit n f: & ducãtur lineæ n g, m g, n m. Palàm, quòd t g ſecabit m n: [per lẽma Procli ad 29 p 1] ſe-
cetin pũcto q. Palàm etiã, quòd m g ſecabit n f: cũ ſecet ei æquidiſtãtẽ: ſit pũctũ ſectionis f. Et à pun
cto a ducatur æquidiſtãs h z: quę ſit a l. Palàm [per lẽma Procli ad 29 p 1] quòd b g cõcurret cũ a l:
ſit cõcurſus l. Deinde ducatur linea cõmunis ſuperficiei,
89[Figure 89]f d a e p t m f k h i g z o q n b cõtingẽti ſpeculũ in puncto g, & ſuperficiei circuli p g: q̃
ſit g o. Palàm [per 18 p 3] quòd erit orthogonalis ſuper
g t: & ſimiliter [ք 29 p 1] ſuper n f. Sumatur etiã linea cõ-
munis ſuperficiei, cõtingẽti ſpeculũ, & ſuperficiei reflexi
onis: quę ſit g d: q̃ quidẽ cũ ſecet g h, ſecabit a l. [per lẽma
Procli ad 29 p 1. ] Sit punctũ ſectionis d: & erit orthogo-
nalis ſuper a l. [Quia enim h g perpẽdicularis eſt plano,
tãgẽti ſpeculũ in pũcto reflexionis g, ք fabricationẽ: erit
ք 3 d 11 perpẽdicularis rectæ lineæ g d ipſam in puncto g
tãgẽti. Et quoniã a l, h z ſunt parallelę, ք fabricationẽ: erit
g d perpẽdicularis ipſi a l per 29 p 1. ] Palàm ex prędictis,
quoniã n f eſt æquidiſtãs g t, & a l ęquidiſtãs g h: igitur [ք
15 p 11] ſuperficies, in qua ſunt n f, al, eſt ęquidiſtãs ſuper-
ficiei g t h: ſed linea e g æquidiſtat b m [ք fabricationẽ]
quare ſunt in eadẽ ſuperficie [ք 35 d 1] q̃ ſuperficies ſecat
preędictas æquidiſtãtes: unã ſuper lineã e g: aliã ſuper li-
neã fl. Quare [ք 16 p 11] fl eſt æquidiſtãs e g: ſed a n æqui
diſtat eidẽ. Igitur [ք 30 p 1] fl eſt æquidiſtãs an. Verũ ſu
perficies cõtingẽs ſpeculũ in pũcto g, ſecat ſuperficies e-
aſdẽ æquidiſtãtes: unã in linea e g: aliã in linea o d. Igitur
[ք 16 p 11] o d eſt æquidiſtãs e g. Igitur [ք 30 p 1] eſt æ ꝗ-
diſtãs a n & l f. Et à pũcto f ducatur linea æ quidiſtãs l a,
ſecãs d o in k, & a n in i: ergo f k æqualis l d, & k i æqualis
d a. [ք 34 p 1. ] Quare erit ꝓ portio a d ad d l, ſicut n o ad
o f. [nã ք 7 p 5 eſt, ut a d ad d l, ſic i k ad k f: ſed ք 2 p 6, ut
i k ad k f, ſic n o ad o f: ergo ք 11 p 5, ut a d ad d l, ſic n o ad o
f. ] Palã etiã, quòd angulus b g z æqualis eſt angulo z g a: [recta enim linea g z bifariã ſecat angulũ a
g b, ut patuit] & etiã angulo g l a: [interiori & oppoſito per 29 p 1] & etiã angulo g a l: [alterno ք 29
p 1. ] Quare [per 1 ax. ] g a l, g l a ſunt æquales: & [ք 6 p 1] g a, g l æquales: & g d քpẽdicularis ſuper
al: [per cõcluſionẽ] erit [per 26 p 1] a d æqualis d l. Erit igitur n o ęqualis o f: [demõſtratũ enim eſt,
ut a d ad d l, ſic n o ad o f: & alternè, ut a d ad n o, ſic d l ad o f: ſed a d æquatur ipſi d l: ergo ք 14 p 5 n o
æquabitur ipſi o f] & g o perpẽdicularis ſuper n f: [parallelæ enim ſunt n f, g t ք fabricationẽ, & g o
perpẽdicularis eſt ipſi gt per 18 p 3: ergo per 29 p 1 g o eſt perpendicularis ipſi n f: ideoq́; angulus ad
o uterq; rectus eſt] erit [per 4 p 1] angulus o f g ęqualis angulo o n g. Erit igitur angulus n g q ęqua
lis angulo m g q. [Nã cũ t q, f n ductę ſint parallelę: æquabitur ք 29 p 1 angulus m g q angulo n f g: ք
æqualis cõcluſus eſt ipſi f n g: æquali angulo n g q alterno per 29 p 1. Quare anguli m g q, n g q inter
ſe ęquãtur. ] Igitur [per 12 n 4] à puncto circuli p g, quod eſt g, poteſt punctum m reflecti ad n, nõ
impediente pyramide. [Hęc concluſio uidetur repugnare 41 n 4 & 50 n, quibus demonſtratum eſt
communem ſectionem ſuperficierum reflexionis & ſpeculi conici cõuexi non eſfe circulum. Qua-
re punctum g circuli p g, à quo hic reflexio fieri concluditur, intelligendum eſt punctum circuli,
qui eſt communis ſectio ſphæræuel cylindri, quos mens intra conum fingit ac concipit. ]
cẽtrũ circuli linea: q̃ ſit g t: & uertex pyramidis ſit e: à quo ducatur axis: ꝗ erit e t. [per 3 d 1 coni. A-
pol. ] Et ducatur [per 12 p 11] perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ, cõtingentẽ fpeculũ in pũcto g: q̃ ſit h
g: q̃ cũ diuidat angulũ a g b per æqualia, [per 13 n 4] cadet ſuper a b: pũctũ caſus ſit z. Et à uertice py
ramidis ducatur linea lõgitudinis ſpeculi ad punctũ g: [educto nẽpe plano per axem, & perrectã à
puncto g, cũ ipſo utlibet cõcurrentẽ: cõmunis enim fectio huius plani & conicæ ſuperficiei erit la-
tus coni, ք 18 d 11, uel 3 th. 1 coni. Apol. ] quę ſit e g: cui lineæ ducatur æquidiſtãs à pũcto a: [per 31 p 1]
quę neceſſariò ſecabit ſuperficiẽ circuli g p: [ſi enim circulũ cũ diametro infinitè extẽſum cogites:
diameter ſecãs e g conilatus, ſecabit etiã rectã lateri parallelã, per lẽma Procli ad 29 p 1. Quare eadẽ
parallela circulũ ipſum quoq; ſecabit] ſecet in pũcto n: & ſit n a. Similiter à pũcto b ducatur æqui-
diſtãs eidẽ e g, ſcilicet b m: quę ſecet ſuperficiẽ p g in pũcto m. Et à pũcto n ducatur ę ꝗ diſtãs ipſi g t:
quę ſit n f: & ducãtur lineæ n g, m g, n m. Palàm, quòd t g ſecabit m n: [per lẽma Procli ad 29 p 1] ſe-
cetin pũcto q. Palàm etiã, quòd m g ſecabit n f: cũ ſecet ei æquidiſtãtẽ: ſit pũctũ ſectionis f. Et à pun
cto a ducatur æquidiſtãs h z: quę ſit a l. Palàm [per lẽma Procli ad 29 p 1] quòd b g cõcurret cũ a l:
ſit cõcurſus l. Deinde ducatur linea cõmunis ſuperficiei,
89[Figure 89]f d a e p t m f k h i g z o q n b cõtingẽti ſpeculũ in puncto g, & ſuperficiei circuli p g: q̃
ſit g o. Palàm [per 18 p 3] quòd erit orthogonalis ſuper
g t: & ſimiliter [ք 29 p 1] ſuper n f. Sumatur etiã linea cõ-
munis ſuperficiei, cõtingẽti ſpeculũ, & ſuperficiei reflexi
onis: quę ſit g d: q̃ quidẽ cũ ſecet g h, ſecabit a l. [per lẽma
Procli ad 29 p 1. ] Sit punctũ ſectionis d: & erit orthogo-
nalis ſuper a l. [Quia enim h g perpẽdicularis eſt plano,
tãgẽti ſpeculũ in pũcto reflexionis g, ք fabricationẽ: erit
ք 3 d 11 perpẽdicularis rectæ lineæ g d ipſam in puncto g
tãgẽti. Et quoniã a l, h z ſunt parallelę, ք fabricationẽ: erit
g d perpẽdicularis ipſi a l per 29 p 1. ] Palàm ex prędictis,
quoniã n f eſt æquidiſtãs g t, & a l ęquidiſtãs g h: igitur [ք
15 p 11] ſuperficies, in qua ſunt n f, al, eſt ęquidiſtãs ſuper-
ficiei g t h: ſed linea e g æquidiſtat b m [ք fabricationẽ]
quare ſunt in eadẽ ſuperficie [ք 35 d 1] q̃ ſuperficies ſecat
preędictas æquidiſtãtes: unã ſuper lineã e g: aliã ſuper li-
neã fl. Quare [ք 16 p 11] fl eſt æquidiſtãs e g: ſed a n æqui
diſtat eidẽ. Igitur [ք 30 p 1] fl eſt æquidiſtãs an. Verũ ſu
perficies cõtingẽs ſpeculũ in pũcto g, ſecat ſuperficies e-
aſdẽ æquidiſtãtes: unã in linea e g: aliã in linea o d. Igitur
[ք 16 p 11] o d eſt æquidiſtãs e g. Igitur [ք 30 p 1] eſt æ ꝗ-
diſtãs a n & l f. Et à pũcto f ducatur linea æ quidiſtãs l a,
ſecãs d o in k, & a n in i: ergo f k æqualis l d, & k i æqualis
d a. [ք 34 p 1. ] Quare erit ꝓ portio a d ad d l, ſicut n o ad
o f. [nã ք 7 p 5 eſt, ut a d ad d l, ſic i k ad k f: ſed ք 2 p 6, ut
i k ad k f, ſic n o ad o f: ergo ք 11 p 5, ut a d ad d l, ſic n o ad o
f. ] Palã etiã, quòd angulus b g z æqualis eſt angulo z g a: [recta enim linea g z bifariã ſecat angulũ a
g b, ut patuit] & etiã angulo g l a: [interiori & oppoſito per 29 p 1] & etiã angulo g a l: [alterno ք 29
p 1. ] Quare [per 1 ax. ] g a l, g l a ſunt æquales: & [ք 6 p 1] g a, g l æquales: & g d քpẽdicularis ſuper
al: [per cõcluſionẽ] erit [per 26 p 1] a d æqualis d l. Erit igitur n o ęqualis o f: [demõſtratũ enim eſt,
ut a d ad d l, ſic n o ad o f: & alternè, ut a d ad n o, ſic d l ad o f: ſed a d æquatur ipſi d l: ergo ք 14 p 5 n o
æquabitur ipſi o f] & g o perpẽdicularis ſuper n f: [parallelæ enim ſunt n f, g t ք fabricationẽ, & g o
perpẽdicularis eſt ipſi gt per 18 p 3: ergo per 29 p 1 g o eſt perpendicularis ipſi n f: ideoq́; angulus ad
o uterq; rectus eſt] erit [per 4 p 1] angulus o f g ęqualis angulo o n g. Erit igitur angulus n g q ęqua
lis angulo m g q. [Nã cũ t q, f n ductę ſint parallelę: æquabitur ք 29 p 1 angulus m g q angulo n f g: ք
æqualis cõcluſus eſt ipſi f n g: æquali angulo n g q alterno per 29 p 1. Quare anguli m g q, n g q inter
ſe ęquãtur. ] Igitur [per 12 n 4] à puncto circuli p g, quod eſt g, poteſt punctum m reflecti ad n, nõ
impediente pyramide. [Hęc concluſio uidetur repugnare 41 n 4 & 50 n, quibus demonſtratum eſt
communem ſectionem ſuperficierum reflexionis & ſpeculi conici cõuexi non eſfe circulum. Qua-
re punctum g circuli p g, à quo hic reflexio fieri concluditur, intelligendum eſt punctum circuli,
qui eſt communis ſectio ſphæræuel cylindri, quos mens intra conum fingit ac concipit. ]
53. Si communis ſectio ſuperficierum, reflexionis, & ſpeculi conici cõuexifuerit latus conicũ:
ab uno puncto unum uiſibilis punctum ad unum uiſum reflectetur. 33 p 7.
ab uno puncto unum uiſibilis punctum ad unum uiſum reflectetur. 33 p 7.
DIco igitur, quòd punctũ b à ſolo g reflectitur ad a.
Si enim dicatur, quòd ab alio pũcto poteſt
reflecti: illud aut erit in linea lõgitudinis: quę eſt e g: aut nõ. Sit in ea: & ſit x: & ab eo ducatur
perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ, cõtingẽtẽ ſpeculũ in pũcto illo: [per 12 p 11] q̃ quidẽ perpẽdi-
cularis, erit [ք 6 p 11] ęquidiſtãs z g: & ita [per 30 p 1] æquidiſtãs a l. Igitur a l eſt in ſuperficie reflexio-
nis huius perpẽdicularis: [per 35 d 1] & eſt ſimiliter in ſuperficie reflexionis perpẽdicularis z g: [ք
35 d 1: parallela enim ducta eſt a l ipſi z g] igitur illæ duæ ſuperficies reflexiõis ſecãt ſe ſuper lineam
reflecti: illud aut erit in linea lõgitudinis: quę eſt e g: aut nõ. Sit in ea: & ſit x: & ab eo ducatur
perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ, cõtingẽtẽ ſpeculũ in pũcto illo: [per 12 p 11] q̃ quidẽ perpẽdi-
cularis, erit [ք 6 p 11] ęquidiſtãs z g: & ita [per 30 p 1] æquidiſtãs a l. Igitur a l eſt in ſuperficie reflexio-
nis huius perpẽdicularis: [per 35 d 1] & eſt ſimiliter in ſuperficie reflexionis perpẽdicularis z g: [ք
35 d 1: parallela enim ducta eſt a l ipſi z g] igitur illæ duæ ſuperficies reflexiõis ſecãt ſe ſuper lineam