165 les proportione dupla: et moueatur mobile vt dicit̄̄
in caſu concluſionis: ſpaeium pertranſitum in to-
tali hora ſe habebit ad ſpacium pertranſitum in ṗ
ma parte proportionali in proportione tripla.
in caſu concluſionis: ſpaeium pertranſitum in to-
tali hora ſe habebit ad ſpacium pertranſitum in ṗ
ma parte proportionali in proportione tripla.
Quod ſic probatur eſto / velocitas prime partis
ſit vt duo et ſecunde vt .3. et tertie vt .4. ſicut apparet
ex caſu cõncluſionis: et mediante illa velocitate pri-
me partis ꝓportionalis vt duo que etiã coextendi
tur toti hore pertranſeat mobile bipedale ī prima
parte ꝓportionali: et per conſequens quadrupeda
le in tota hora / et arguo ſic illud mobile mediante il
la velocitate vt duo extenſa per totam horam per-
tranſit quadrupedale: et mediantibus exceſſibus q̇-
bus partes ꝓportionales ſe excedunt pertranſit bi
pedale: igitur in tota hora ꝑtranſit ſex bipedalia:
ſed ſex pedalium ad duo pedalia pertranſita in pri
ma parte eſt ꝓportio tripla: igitur. Patet conſeq̄n
tia cum maiore: et arguitur minor: videlicet / medi
antibus illis exceſſibus mobile pertranſit pedale.
quia mediante illo gradu quo ſecunda pars ꝓpor
tionalis excedit primam qui eſt extenſus etiam a to
to reſiduo a prima illud mobile pertranſit vnū pe-
dale quia mediantibus duobus gradibus coexten
ſis illi parti id eſt toti reſiduo a prima pertranſit bi
pedale / vt ponitur: mediante vno igitur extenſo eidē
pertranſitur vnum pedale: et mediante etiã vno gra
du quo tertia pars excedit ſecundam extenſo ꝑ to-
tum reſiduum a prima et ſecunda pertranſit ſubdu-
plum ad pedale quia extenditur ꝑ in duplo minorē
partem: et mediante exceſſu quo quarta excedit ter-
tiam qui eſt etiam vnus gradus extenſus per totuꝫ
reſiduum a prima ſecūda et tertia / quod ē ſub
duplum ad totum reſiduum a prima et ſecūda et ter
tia pertranſit illud mobile in duplo minus ꝙ̄ medi
ante precedente: igitur ſpacium totale pertranſitū
mediantibus illis exceſſibus componitur ex aliqui
bus continuo ſe habentibus in ꝓportiõe ſubdupla
et ſubdupla: et primum eſt pedale: ergo totum eſt bi-
pedale / quod fuit ꝓbandum. Item partita hora in
partes proportionales ꝓportiõe ſexquialtera mo
bili mouente eodem modo quo ponitur in caſu cõ
cluſionis: ſpacium pertranſitum in tota hora ē ſex
tuplum ad ſpacium pertranſitum in prima parte ꝓ
porionali hore. Probatur et ſit gratia argumenti
velocitas prime partis ꝓportionalis / vt duo et me
diante illa coextenſa toti hore pertranſeat mobile
tripedale: et per conſequens mediante illa in ṗma ꝑ
te ꝓportionali ꝑtranſibit pedale qua ṗma ꝑs ꝓpor
tionalis eſt ſubtripla ad totum diuiſum tali ꝓpor
tione: quo poſito arguitur ſic mediante illa veloci-
tate / vt duo coextenſo toti hore ꝑtranſit tripedale et
mediantibus exceſſibus etiam ꝑtranſit tripedale:
igitur in totali hora ꝑtranſit ſexpedalia: et in prīa
parte ꝓportionali vnum pedale / vt ponitur: igitur
totale ſpacium ſe habet ad ſpacium pertranſitum ī
prima parte ꝓportionali in ꝓportiõe ſextupla / qḋ
fuit ꝓbandum. Sed iam probo / mediantibus ex-
ceſſibus pertranſit tripepale quia velocitas ſecun-
de partis ꝓportionalis excedit velocitatem prime
per totum reſiduum a prima parte proportionali:
igitur mediante illo mobile pertranſit vnum peda
le. Patet hec conſequentia / quia mediante vno gra
du in prima parte proportionali mobile pertranſit
ſemipedale vt apparet ex caſu: igitur mediante vno
gradu extenſo per totum reſiduum a prima parte ꝓ
portionali vnum pedale cum totum reſiduum a pri
ma parte ſit duplum ad illam: et mediante exceſſu
quo tertia pars excedit ſecundam / qui eſt etiam vnꝰ
gradus ꝑ totum reſiduum a prima et ſecunda exten
ſus pertranſibit ſubſexquialterum ad illud peda-
le: et mediãte exceſſu quo quarta excedit tertiam ex-
tenſo per totum reſiduum a prima ſecunda et ter-
tia pertranſit etiam ſubſexquialterum ad precedēs
cum illi exceſſus continuo ſint equales continuo co
extenſis partibus ī ſexquialtero minoribus: igitur
illud ſpacium pertranſitum mediantibus illis ex-
ceſſibus componitur ex infinitis continuo ſe haben
tibus in proportione ſexquialtera. / igitur totius il
lius ſpacii ad primum illorum ſpaciorum eſt ꝓpor
tio tripla: et primum eſt pedale: ergo totum eſt tri-
pedale / quod fuit probandum. Et ſic patet /
aliquando totale ſpacium eſt ſextuplum aliquan-
do triplum ad ſpacium pertranſitum in prima par
te ꝓportionali ¶ Et ex his infertur prima pars cõ-
cluſionis videlicet / non eſt vna regula certa: quaꝫ
parteꝫ ꝓbaliter pono / quia forte eſt modus: et cer
ta regula: et nõ occurrit mihi Apparet etiã veritas
ſecunde partis / quia quauis ꝓportione propoſita
qua tempus diuiditur, mobili mouente / vt ponitur
in caſu concluſionis ex p̄dictis poteſt inueniri ſpa-
cium pertranſitum in totali tēpore. ¶ Alio tamen
modo poterit tale ſpaciū ad inueniri primo imagi
nando medietatem velocitatis prime partis eſſe ſe
motam per totam horam: et tunc inuenitur ſpaciū
pertranſitum in totali hora mediante reſidua velo
citate manente ex quarta concluſione huius. q2 tūc
reſidua velocitas ſe habebit omnino ſicut ponit il
la concluſio. deinde illo ſpacio ſic ad inuento adiū-
ge ſpacium natum ꝑertranſiri a velocitate quã ſub
traxeris et ſic totum ſpacium erit ad inuentum quo
relato ad ſpacium pertrãſitum in prima parte pro
portionali habebitur queſitum. Exemplum / vt par
tita hora per ꝑtes ꝓportionales ꝓportione dupla
mobili moto / vt dictum eſt in caſu concluſionis pre
cedētis: et ſit velocitas prīe ꝑtis ꝓportiõalis vt duo
q̄ velocitas ē coextēſa toti hore: et mediãte illa velo
citate vt duo coextenſa toti hore pertranſeat mobi
le exēpli gratia bipedale. remoueas igitur ad ima
ginationem vnum gradum illius velocitatis vt duo
que extenditur per totam horam. et tunc manifeſtū
eſt / illa ſemota mobile mouebitur aliqua veloci-
tate in prima: et in ſecunda in duplo maiori et in ter
tia in tripla maiori quã in prima etc. / et ſic conſequē
ter: igitur totalis velocitas ſe habebit ad velocita
tem prime partis ꝓportionalis in ꝓportione du-
pla ex ſecunda concluſione: et ſpacium pertranſituꝫ
in totali hora ſe habebit in ꝓportione duplicata
ad ſpacium pertranſitum in prima parte ꝓportio
nali mediante velocitate vt vnum (quia oportet in-
telligere alium gradum ſemotum mediante cuius
velocitate vnius videlicet gradus mobile pertran-
ſit ſemipedale in prima parte ꝓportiõali) / ergo me
diante tota velocitate pertranſit bipedale. et mediã
te illo gradu quē remoueras extenſo per totam ho
ram pertranſit vnuꝫ pedale in tota hora: igitur to
tale ſpacium eſt tripedale: et in prima parte propor
tionali mediantibus illis duobus gradibus ꝑtrã-
ſibat pedale: igitur totum ſpaciuꝫ eſt triplū ad ſpa
cium pertranſitum in prima parte Et ſic iudicabis
de omnibus.
ſit vt duo et ſecunde vt .3. et tertie vt .4. ſicut apparet
ex caſu cõncluſionis: et mediante illa velocitate pri-
me partis ꝓportionalis vt duo que etiã coextendi
tur toti hore pertranſeat mobile bipedale ī prima
parte ꝓportionali: et per conſequens quadrupeda
le in tota hora / et arguo ſic illud mobile mediante il
la velocitate vt duo extenſa per totam horam per-
tranſit quadrupedale: et mediantibus exceſſibus q̇-
bus partes ꝓportionales ſe excedunt pertranſit bi
pedale: igitur in tota hora ꝑtranſit ſex bipedalia:
ſed ſex pedalium ad duo pedalia pertranſita in pri
ma parte eſt ꝓportio tripla: igitur. Patet conſeq̄n
tia cum maiore: et arguitur minor: videlicet / medi
antibus illis exceſſibus mobile pertranſit pedale.
quia mediante illo gradu quo ſecunda pars ꝓpor
tionalis excedit primam qui eſt extenſus etiam a to
to reſiduo a prima illud mobile pertranſit vnū pe-
dale quia mediantibus duobus gradibus coexten
ſis illi parti id eſt toti reſiduo a prima pertranſit bi
pedale / vt ponitur: mediante vno igitur extenſo eidē
pertranſitur vnum pedale: et mediante etiã vno gra
du quo tertia pars excedit ſecundam extenſo ꝑ to-
tum reſiduum a prima et ſecunda pertranſit ſubdu-
plum ad pedale quia extenditur ꝑ in duplo minorē
partem: et mediante exceſſu quo quarta excedit ter-
tiam qui eſt etiam vnus gradus extenſus per totuꝫ
reſiduum a prima ſecūda et tertia / quod ē ſub
duplum ad totum reſiduum a prima et ſecūda et ter
tia pertranſit illud mobile in duplo minus ꝙ̄ medi
ante precedente: igitur ſpacium totale pertranſitū
mediantibus illis exceſſibus componitur ex aliqui
bus continuo ſe habentibus in ꝓportiõe ſubdupla
et ſubdupla: et primum eſt pedale: ergo totum eſt bi-
pedale / quod fuit ꝓbandum. Item partita hora in
partes proportionales ꝓportiõe ſexquialtera mo
bili mouente eodem modo quo ponitur in caſu cõ
cluſionis: ſpacium pertranſitum in tota hora ē ſex
tuplum ad ſpacium pertranſitum in prima parte ꝓ
porionali hore. Probatur et ſit gratia argumenti
velocitas prime partis ꝓportionalis / vt duo et me
diante illa coextenſa toti hore pertranſeat mobile
tripedale: et per conſequens mediante illa in ṗma ꝑ
te ꝓportionali ꝑtranſibit pedale qua ṗma ꝑs ꝓpor
tionalis eſt ſubtripla ad totum diuiſum tali ꝓpor
tione: quo poſito arguitur ſic mediante illa veloci-
tate / vt duo coextenſo toti hore ꝑtranſit tripedale et
mediantibus exceſſibus etiam ꝑtranſit tripedale:
igitur in totali hora ꝑtranſit ſexpedalia: et in prīa
parte ꝓportionali vnum pedale / vt ponitur: igitur
totale ſpacium ſe habet ad ſpacium pertranſitum ī
prima parte ꝓportionali in ꝓportiõe ſextupla / qḋ
fuit ꝓbandum. Sed iam probo / mediantibus ex-
ceſſibus pertranſit tripepale quia velocitas ſecun-
de partis ꝓportionalis excedit velocitatem prime
per totum reſiduum a prima parte proportionali:
igitur mediante illo mobile pertranſit vnum peda
le. Patet hec conſequentia / quia mediante vno gra
du in prima parte proportionali mobile pertranſit
ſemipedale vt apparet ex caſu: igitur mediante vno
gradu extenſo per totum reſiduum a prima parte ꝓ
portionali vnum pedale cum totum reſiduum a pri
ma parte ſit duplum ad illam: et mediante exceſſu
quo tertia pars excedit ſecundam / qui eſt etiam vnꝰ
gradus ꝑ totum reſiduum a prima et ſecunda exten
ſus pertranſibit ſubſexquialterum ad illud peda-
le: et mediãte exceſſu quo quarta excedit tertiam ex-
tenſo per totum reſiduum a prima ſecunda et ter-
tia pertranſit etiam ſubſexquialterum ad precedēs
cum illi exceſſus continuo ſint equales continuo co
extenſis partibus ī ſexquialtero minoribus: igitur
illud ſpacium pertranſitum mediantibus illis ex-
ceſſibus componitur ex infinitis continuo ſe haben
tibus in proportione ſexquialtera. / igitur totius il
lius ſpacii ad primum illorum ſpaciorum eſt ꝓpor
tio tripla: et primum eſt pedale: ergo totum eſt tri-
pedale / quod fuit probandum. Et ſic patet /
aliquando totale ſpacium eſt ſextuplum aliquan-
do triplum ad ſpacium pertranſitum in prima par
te ꝓportionali ¶ Et ex his infertur prima pars cõ-
cluſionis videlicet / non eſt vna regula certa: quaꝫ
parteꝫ ꝓbaliter pono / quia forte eſt modus: et cer
ta regula: et nõ occurrit mihi Apparet etiã veritas
ſecunde partis / quia quauis ꝓportione propoſita
qua tempus diuiditur, mobili mouente / vt ponitur
in caſu concluſionis ex p̄dictis poteſt inueniri ſpa-
cium pertranſitum in totali tēpore. ¶ Alio tamen
modo poterit tale ſpaciū ad inueniri primo imagi
nando medietatem velocitatis prime partis eſſe ſe
motam per totam horam: et tunc inuenitur ſpaciū
pertranſitum in totali hora mediante reſidua velo
citate manente ex quarta concluſione huius. q2 tūc
reſidua velocitas ſe habebit omnino ſicut ponit il
la concluſio. deinde illo ſpacio ſic ad inuento adiū-
ge ſpacium natum ꝑertranſiri a velocitate quã ſub
traxeris et ſic totum ſpacium erit ad inuentum quo
relato ad ſpacium pertrãſitum in prima parte pro
portionali habebitur queſitum. Exemplum / vt par
tita hora per ꝑtes ꝓportionales ꝓportione dupla
mobili moto / vt dictum eſt in caſu concluſionis pre
cedētis: et ſit velocitas prīe ꝑtis ꝓportiõalis vt duo
q̄ velocitas ē coextēſa toti hore: et mediãte illa velo
citate vt duo coextenſa toti hore pertranſeat mobi
le exēpli gratia bipedale. remoueas igitur ad ima
ginationem vnum gradum illius velocitatis vt duo
que extenditur per totam horam. et tunc manifeſtū
eſt / illa ſemota mobile mouebitur aliqua veloci-
tate in prima: et in ſecunda in duplo maiori et in ter
tia in tripla maiori quã in prima etc. / et ſic conſequē
ter: igitur totalis velocitas ſe habebit ad velocita
tem prime partis ꝓportionalis in ꝓportione du-
pla ex ſecunda concluſione: et ſpacium pertranſituꝫ
in totali hora ſe habebit in ꝓportione duplicata
ad ſpacium pertranſitum in prima parte ꝓportio
nali mediante velocitate vt vnum (quia oportet in-
telligere alium gradum ſemotum mediante cuius
velocitate vnius videlicet gradus mobile pertran-
ſit ſemipedale in prima parte ꝓportiõali) / ergo me
diante tota velocitate pertranſit bipedale. et mediã
te illo gradu quē remoueras extenſo per totam ho
ram pertranſit vnuꝫ pedale in tota hora: igitur to
tale ſpacium eſt tripedale: et in prima parte propor
tionali mediantibus illis duobus gradibus ꝑtrã-
ſibat pedale: igitur totum ſpaciuꝫ eſt triplū ad ſpa
cium pertranſitum in prima parte Et ſic iudicabis
de omnibus.
Duodecima cõcluſio:
Si ſit aliquod
tp̄s diuiſū ꝑ partes ꝓportiõales ꝓportione dupla
et in prima parte ꝓportiõali mobile moueatur ali-
quanta velocitate: et in ſecunda in duplo velocius
quã in prima: et in tertia in ſexquialtero velocius ̄
in prima: et in quarta in ſexquitertio velociꝰ quam
in prima. / et ſic conſequenter procedendo per omēs
tp̄s diuiſū ꝑ partes ꝓportiõales ꝓportione dupla
et in prima parte ꝓportiõali mobile moueatur ali-
quanta velocitate: et in ſecunda in duplo velocius
quã in prima: et in tertia in ſexquialtero velocius ̄
in prima: et in quarta in ſexquitertio velociꝰ quam
in prima. / et ſic conſequenter procedendo per omēs