166160ALHAZEN[ſecabitaũt:
quia cũ ſint in uno plano ք 23 n 4:
& et ſecet angulũ a e b:
cõtinuata ſecabit etiã baſim
angulo ſubtẽſam. ] Palàm, quoniã m b æquidiſtat g e: eſt in eadẽ ſuperficie cũ ipſa: [ք 35 d 1] quę ſu
perficies ſecat ſuperficiẽ m g n & ſuperficiẽ b e a ęquidiſtãtes, ſuper duas lineas m g, b e: ergo [ք 16 p
11] m g æquidiſtãs eſt b e. Similiter n a, ge ſunt in ſuperficie ſecante illas ſuperficies æquidiſtãte s, ſu
per n g, a e: igitur [per 16 p 11] n g æquidiſtat a e. Similiter ſuperficies q g e ſecat eaſdẽ ſuperficies, ſu
per duas lineas r e, q g: igitur [ք 16 p 11] r e, q g æquidiſtãt. Igitur q g & m g æquidiſtãt b e, r e. Quare
[ք 10 p 11] angulus m g q æqualis angulo b e r: & angulus q g n æqualis angulo r e a: & angulus b e r
æqualis angulo r e a. [ꝗa angulus m g q æquatus eſt angulo n g q. ] Et ita pũctũ a põt reflecti ad pun
ctũ b à pũcto e [ք 12 n 4. ] Si ergo à pũcto a ducatur ęꝗdiſtãs q e, & alia ęꝗ diſtãs r e: & ducatur b e, do
nec cõcurrat cũ linea æꝗdiſtãte ipſi q e: & ducãtur lineę cõmunes, ut prius, & m e, n e: & iteretur ꝓ-
batio p̃dicta: patebit, qđ n põtreflecti ad m à pũcto e. Erit igitur e pũctũ reflexiõis. Qđ eſt ꝓpoſitũ.
angulo ſubtẽſam. ] Palàm, quoniã m b æquidiſtat g e: eſt in eadẽ ſuperficie cũ ipſa: [ք 35 d 1] quę ſu
perficies ſecat ſuperficiẽ m g n & ſuperficiẽ b e a ęquidiſtãtes, ſuper duas lineas m g, b e: ergo [ք 16 p
11] m g æquidiſtãs eſt b e. Similiter n a, ge ſunt in ſuperficie ſecante illas ſuperficies æquidiſtãte s, ſu
per n g, a e: igitur [per 16 p 11] n g æquidiſtat a e. Similiter ſuperficies q g e ſecat eaſdẽ ſuperficies, ſu
per duas lineas r e, q g: igitur [ք 16 p 11] r e, q g æquidiſtãt. Igitur q g & m g æquidiſtãt b e, r e. Quare
[ք 10 p 11] angulus m g q æqualis angulo b e r: & angulus q g n æqualis angulo r e a: & angulus b e r
æqualis angulo r e a. [ꝗa angulus m g q æquatus eſt angulo n g q. ] Et ita pũctũ a põt reflecti ad pun
ctũ b à pũcto e [ք 12 n 4. ] Si ergo à pũcto a ducatur ęꝗdiſtãs q e, & alia ęꝗ diſtãs r e: & ducatur b e, do
nec cõcurrat cũ linea æꝗdiſtãte ipſi q e: & ducãtur lineę cõmunes, ut prius, & m e, n e: & iteretur ꝓ-
batio p̃dicta: patebit, qđ n põtreflecti ad m à pũcto e. Erit igitur e pũctũ reflexiõis. Qđ eſt ꝓpoſitũ.
56. Viſu & uiſibili ultra planum per uerticem ſpeculi conici conuexi ductum, baſí paralle
lum, poſitis: punctum reflexionis inuenire. 37 p 7.
lum, poſitis: punctum reflexionis inuenire. 37 p 7.
SI uerò ambo fuerint ultra m g n:
fiat pyramis huic oppoſita:
& eſt, ut ꝓtrahãtur lineæ lõgitudi
nis pyramidis iã factæ [ut è 1 d 1 coni. Apol. intelligitur] & à pũcto a ducatur ſuperficies, ſecans
hãc ultimã pyramidẽ ſuք circulũ y z: [ut oſtẽſum eſt 52 n: eritq́; hic circulus parallelus utriuſq;
coni baſib. ք cõuerſionẽ 4 th 1 coni. Apol. ] B aũt erit in
93[Figure 93]z y a p d q b m n g t e f r h hac ſuքficie: aut nõ. Si fuerit: fiat operatio à pũcto b. [ut
54 n. ] Si nõ: ducatur linea g b, uſq; dũ cõcurrat cũ hac ſu
perficie: [cõcurret aũt: quia eſt inter plana parallela] &
ſit cõcurſus in pũcto d. Palàm, qđ a reflectitur ad d ab ali
quo pũcto circuli y z interiore [per 40 n 4. ] Inueniatur
pũctũ illud: ſicut deinceps ꝓbabimus & docebimus, nõ
ex anterioribus: & ſit z: & ducãtur lineæ a z, d z, a d: & li-
nea p z diuidat angulũ illũ ք æq̀ualia: [ք 9 p 1] & à pun-
cto g ducatur g z linea lõgitudinis: [ut oſtẽſum eſt 52 n]
& ducatur a b: & producatur linea z g ad aliã pyramidẽ:
quę quidẽ perueniet ad ſuperficiẽ eius: & erit linea lõgi-
tudinis: [ut patet è 1 d 1 coni. Apollo. ] & ſit z g e. Palàm,
quòd ſuperficies p z e ſecabit lineã a b: ſecet in puncto q:
& ducatur à pũcto q perpẽdicularis ſuper lineã g e: [ք 12
p 1] & cadat in pũctũ e: & erit perpẽdicularis ſuper ſuper
ficiẽ, cõtingentẽ pyramidẽ ſuper lineã g e: [ք 3 d 11] & ſu-
perpũctũ e fiat ſuperficies, æquidiſtãs baſi: quę ſit f e h: &
ducatur à pũcto d linea æquidiſtãs z e: quę ſit d h, cõcur-
rẽs cũ ſuperficie illa in pũcto h: [cõcurret aũt: quia cõcur
rit cũ plano ipſi parallelo] & eidẽ lineæ ſit æ quidiſtãs a f.
Palàm, quoniam d h eſt æquidiſtãs z e: quòd ſunt in eadẽ
ſuperficie: [ք 35 d 1] quę ſuperficies ſecat ſuperficies æ-
quidiſtantes, ſuper duas lineas d z, h e: igitur [ք 16 p 11] h
e, d z ſunt ęquidiſtátes. Similiter a z, fe ſunt ęquidiſtãtes.
Similiter, quoniã p z trãſit per cêtrũ circuli y z: [ducta e-
nim recta linea circulũ in pũcto z tãgẽte ք 17 p 3: quoniã angulus a z d bifariã ſectus eſt à linea p z: &
anguli incidẽtiæ & reflexiõis æquãtur ք 10 n 4: anguli igitur deinceps lineę p z & tãgẽtis ęquãtur ք
2 ax. & ita ք 10 d 1 uterq; rectus eſt. Quare ք 19 p 3 p z eſt diameter circuli y z] ſimiliter r e t ք cẽtrũ al
terius circuli, ſuper quẽ ſuperficies a e h ſecat pyramidẽ. Igitur ſuperficies p z e r ſecat duas ſuperfi-
cies æquidiſtãtes, ſuper duas lineas p z, r e: igitur [ք 16 p 11] p z æquidiſtat r e. Quare [ք 10 p 11] an-
gulus a z p æ qualis angulo f e r: & angulus d z p angulo h e r: & ita erit angulus f e r æqualis angulo
r e h. [ꝗa a z p æquatus eſt d z p. ] Quare f reflectetur ad h à pũcto e. Igitur ſi à pũcto f ꝓtraxerimus
ęquidiſtãtẽ q e, & aliã æquidiſtãtẽ r e: & lineas cõmunes, ſicut ſuprà: & iterauerimus modũ ꝓbandi
prædictũ: patebit, quòd punctum a reflectetur ad b à puncto e. Quod eſt propoſitum.
nis pyramidis iã factæ [ut è 1 d 1 coni. Apol. intelligitur] & à pũcto a ducatur ſuperficies, ſecans
hãc ultimã pyramidẽ ſuք circulũ y z: [ut oſtẽſum eſt 52 n: eritq́; hic circulus parallelus utriuſq;
coni baſib. ք cõuerſionẽ 4 th 1 coni. Apol. ] B aũt erit in
93[Figure 93]z y a p d q b m n g t e f r h hac ſuքficie: aut nõ. Si fuerit: fiat operatio à pũcto b. [ut
54 n. ] Si nõ: ducatur linea g b, uſq; dũ cõcurrat cũ hac ſu
perficie: [cõcurret aũt: quia eſt inter plana parallela] &
ſit cõcurſus in pũcto d. Palàm, qđ a reflectitur ad d ab ali
quo pũcto circuli y z interiore [per 40 n 4. ] Inueniatur
pũctũ illud: ſicut deinceps ꝓbabimus & docebimus, nõ
ex anterioribus: & ſit z: & ducãtur lineæ a z, d z, a d: & li-
nea p z diuidat angulũ illũ ք æq̀ualia: [ք 9 p 1] & à pun-
cto g ducatur g z linea lõgitudinis: [ut oſtẽſum eſt 52 n]
& ducatur a b: & producatur linea z g ad aliã pyramidẽ:
quę quidẽ perueniet ad ſuperficiẽ eius: & erit linea lõgi-
tudinis: [ut patet è 1 d 1 coni. Apollo. ] & ſit z g e. Palàm,
quòd ſuperficies p z e ſecabit lineã a b: ſecet in puncto q:
& ducatur à pũcto q perpẽdicularis ſuper lineã g e: [ք 12
p 1] & cadat in pũctũ e: & erit perpẽdicularis ſuper ſuper
ficiẽ, cõtingentẽ pyramidẽ ſuper lineã g e: [ք 3 d 11] & ſu-
perpũctũ e fiat ſuperficies, æquidiſtãs baſi: quę ſit f e h: &
ducatur à pũcto d linea æquidiſtãs z e: quę ſit d h, cõcur-
rẽs cũ ſuperficie illa in pũcto h: [cõcurret aũt: quia cõcur
rit cũ plano ipſi parallelo] & eidẽ lineæ ſit æ quidiſtãs a f.
Palàm, quoniam d h eſt æquidiſtãs z e: quòd ſunt in eadẽ
ſuperficie: [ք 35 d 1] quę ſuperficies ſecat ſuperficies æ-
quidiſtantes, ſuper duas lineas d z, h e: igitur [ք 16 p 11] h
e, d z ſunt ęquidiſtátes. Similiter a z, fe ſunt ęquidiſtãtes.
Similiter, quoniã p z trãſit per cêtrũ circuli y z: [ducta e-
nim recta linea circulũ in pũcto z tãgẽte ք 17 p 3: quoniã angulus a z d bifariã ſectus eſt à linea p z: &
anguli incidẽtiæ & reflexiõis æquãtur ք 10 n 4: anguli igitur deinceps lineę p z & tãgẽtis ęquãtur ք
2 ax. & ita ք 10 d 1 uterq; rectus eſt. Quare ք 19 p 3 p z eſt diameter circuli y z] ſimiliter r e t ք cẽtrũ al
terius circuli, ſuper quẽ ſuperficies a e h ſecat pyramidẽ. Igitur ſuperficies p z e r ſecat duas ſuperfi-
cies æquidiſtãtes, ſuper duas lineas p z, r e: igitur [ք 16 p 11] p z æquidiſtat r e. Quare [ք 10 p 11] an-
gulus a z p æ qualis angulo f e r: & angulus d z p angulo h e r: & ita erit angulus f e r æqualis angulo
r e h. [ꝗa a z p æquatus eſt d z p. ] Quare f reflectetur ad h à pũcto e. Igitur ſi à pũcto f ꝓtraxerimus
ęquidiſtãtẽ q e, & aliã æquidiſtãtẽ r e: & lineas cõmunes, ſicut ſuprà: & iterauerimus modũ ꝓbandi
prædictũ: patebit, quòd punctum a reflectetur ad b à puncto e. Quod eſt propoſitum.
57. Viſu in plano per uerticem ſpeculi conici conuexi ducto, baſí parallelo, uiſibili citraidẽ
poſitis: punctum reflexionis inuenire. 38 p 7.
poſitis: punctum reflexionis inuenire. 38 p 7.
SI uerò centrũ uiſus fuerit in ſuperficie æquidiſtante, quæ eſt ſupra uerticẽ, ſcilicet g:
& punctũ
uiſum citra hãc ſuperficiẽ: erit inuenire punctũ reflexionis hoc modo. Sit enim cẽtrũ uiſus m:
pũctũ uiſum a: & ſit m n g ſuperficies æquidiſtãs baſi pyramidis: & à pũcto a ducatur ſuperfici-
es æquidiſtãs baſi pyramidis: [ut mõſtratũ eſt 52 n] quæ ſecabit pyramidẽ ſuper circulũ [per 4 th. 1
coni. Apol. ] ꝗ ſit d e k: cuius cẽtrũ t: & à pũcto m ducatur perpẽdicularis ſuper hãc ſuperficiẽ: [ք 12
p 1] quę ſit m h: & ducatur axis g t: & linea h t: & ducatur ab m ad a linea recta m a: & à puncto a du
catur ad lineã h t, intra circulũ, linea a e q, & e q ſit æqualis q t ſecũdũ ſupradicta: [37 n] & ducatur
linea t e i: & à pũcto h ducatur æquidiſtãs te, & æqualis: [ք 31. 3 p 1] q̃ ſit h b: & ducãtur lineæ m b,
b e, g e. Palã, qđ ſuperficies g t e ſecabit lineã a m: ſit punctũ ſectionis f: & ducatur à pũcto fperpẽdi
cularis ſuper lineã e g: [ք 12 p 1] & ꝓducatur ad axem: [cũ quo cõcurret, ut oſtẽſum eſt 54 n] cadẽs
in pũctũ o: quę ſit f o p: & ducãtur lineæ m o, a o. Dico, qđ o eſt punctũ reflexionis. Palã, quoniã h b
æquidiſtãs & æqualis t e: [per fabricationẽ] igitur h t æquidiſtãs & æqualis e b. [per 33 p 1. ] Sed m h
uiſum citra hãc ſuperficiẽ: erit inuenire punctũ reflexionis hoc modo. Sit enim cẽtrũ uiſus m:
pũctũ uiſum a: & ſit m n g ſuperficies æquidiſtãs baſi pyramidis: & à pũcto a ducatur ſuperfici-
es æquidiſtãs baſi pyramidis: [ut mõſtratũ eſt 52 n] quæ ſecabit pyramidẽ ſuper circulũ [per 4 th. 1
coni. Apol. ] ꝗ ſit d e k: cuius cẽtrũ t: & à pũcto m ducatur perpẽdicularis ſuper hãc ſuperficiẽ: [ք 12
p 1] quę ſit m h: & ducatur axis g t: & linea h t: & ducatur ab m ad a linea recta m a: & à puncto a du
catur ad lineã h t, intra circulũ, linea a e q, & e q ſit æqualis q t ſecũdũ ſupradicta: [37 n] & ducatur
linea t e i: & à pũcto h ducatur æquidiſtãs te, & æqualis: [ք 31. 3 p 1] q̃ ſit h b: & ducãtur lineæ m b,
b e, g e. Palã, qđ ſuperficies g t e ſecabit lineã a m: ſit punctũ ſectionis f: & ducatur à pũcto fperpẽdi
cularis ſuper lineã e g: [ք 12 p 1] & ꝓducatur ad axem: [cũ quo cõcurret, ut oſtẽſum eſt 54 n] cadẽs
in pũctũ o: quę ſit f o p: & ducãtur lineæ m o, a o. Dico, qđ o eſt punctũ reflexionis. Palã, quoniã h b
æquidiſtãs & æqualis t e: [per fabricationẽ] igitur h t æquidiſtãs & æqualis e b. [per 33 p 1. ] Sed m h