166114THEORIÆ
diſtantiarum ſupra omnes ulteriores æquari progreſſui plani to-
ties ſumpto, quot puncta habentur, & in regreſſu deſtruitur e
contrario, quidquid in ejuſmodi progreſſu eſt factum, atque id-
circo ad æqualitatem reditur. Verum ut demonſtratio quam-
accuratiſſima evadat, exprimat in fig. 36 recta AB planum
11Fig. 36. diſtantiarum æqualium, & CD planum ipſi parallelum, ac o-
mnia puncta diſtribui poterunt in claſſes tres, in quorum prima
ſint omnia puncta jacentia citra utrumque planum, ut punctum
E; in ſecunda omnia puncta jacentia inter utrumque, ut F,
in tertia omnia puncta adhuc jacentia ultra utrumque, ut G.
Rectæ autem per ipſa ductæ in directione data quacunque, oc-
currant rectæ AB in M, H, K, & rectæ CD in N, I,
L; ac ſit quædam recta directionis ejuſdem ipſis AB, CD oc-
currens in O, P. Patet, ipſam OP fore æqualem ipſis M ,
HI, KL. Dicatur jam ſumma omnium punctorum E primæ
claſſis E, & diſtantiarum omnium EM ſumma e; punctorum
F ſecundæ claſſis F, & diſtantiarum f; punctorum G tertiæ
claſſis ſumma G, & diſtantiarum earundem g; diſtantia vero
OP dicatur O. Patet, ſummam omnium MN fore ExO;
ſummam omnium HI fore, FxO; ſummam omnium KL
fore GxO; erit autem quævis EN = EM + MN; quæ-
vis FI = HI-FH; quævis GL = KG-KL. Qua-
re ſumma omnium EN erit e + ExO; ſumma omnium FI
= FxO-f, & ſumma omnium GL =g-GxO;
adeoque ſumma omnium diſtantiarum punctorum jacentium ci-
tra planum CD, primæ nimirum, ac ſecundæ claſſis, erit e
+ ExO + FxO-f, & ſumma omnium jacentium ul-
tra, nimirum claſſis tertiæ, erit g-GxO. Quare exceſſus
prioris ſummæ ſupra ſecundam erit e + ExO + FxO-f
-g + GxO; adeoque ſi prius fuerit e=f + g; deleto
e-f-g, totus exceſſus erit ExO + FxO + GxO, ſive (E
+ F + G)xO, ſumma omnium punctorum ducta in diſtan-
tiam planorum; & vice verſa ſi is exceſſus reſpectu ſecundi pla-
ni BC fuerit æqualis huic ſummæ ductæ in diſtantiam O, o-
portebit, e-f-g æquetur nihilo, adeoque ſit e= f + g, ni-
mirum reſpectu primi plani AB ſummas diſtantiarum hinc,
& inde æquales eſſe.
ties ſumpto, quot puncta habentur, & in regreſſu deſtruitur e
contrario, quidquid in ejuſmodi progreſſu eſt factum, atque id-
circo ad æqualitatem reditur. Verum ut demonſtratio quam-
accuratiſſima evadat, exprimat in fig. 36 recta AB planum
11Fig. 36. diſtantiarum æqualium, & CD planum ipſi parallelum, ac o-
mnia puncta diſtribui poterunt in claſſes tres, in quorum prima
ſint omnia puncta jacentia citra utrumque planum, ut punctum
E; in ſecunda omnia puncta jacentia inter utrumque, ut F,
in tertia omnia puncta adhuc jacentia ultra utrumque, ut G.
Rectæ autem per ipſa ductæ in directione data quacunque, oc-
currant rectæ AB in M, H, K, & rectæ CD in N, I,
L; ac ſit quædam recta directionis ejuſdem ipſis AB, CD oc-
currens in O, P. Patet, ipſam OP fore æqualem ipſis M ,
HI, KL. Dicatur jam ſumma omnium punctorum E primæ
claſſis E, & diſtantiarum omnium EM ſumma e; punctorum
F ſecundæ claſſis F, & diſtantiarum f; punctorum G tertiæ
claſſis ſumma G, & diſtantiarum earundem g; diſtantia vero
OP dicatur O. Patet, ſummam omnium MN fore ExO;
ſummam omnium HI fore, FxO; ſummam omnium KL
fore GxO; erit autem quævis EN = EM + MN; quæ-
vis FI = HI-FH; quævis GL = KG-KL. Qua-
re ſumma omnium EN erit e + ExO; ſumma omnium FI
= FxO-f, & ſumma omnium GL =g-GxO;
adeoque ſumma omnium diſtantiarum punctorum jacentium ci-
tra planum CD, primæ nimirum, ac ſecundæ claſſis, erit e
+ ExO + FxO-f, & ſumma omnium jacentium ul-
tra, nimirum claſſis tertiæ, erit g-GxO. Quare exceſſus
prioris ſummæ ſupra ſecundam erit e + ExO + FxO-f
-g + GxO; adeoque ſi prius fuerit e=f + g; deleto
e-f-g, totus exceſſus erit ExO + FxO + GxO, ſive (E
+ F + G)xO, ſumma omnium punctorum ducta in diſtan-
tiam planorum; & vice verſa ſi is exceſſus reſpectu ſecundi pla-
ni BC fuerit æqualis huic ſummæ ductæ in diſtantiam O, o-
portebit, e-f-g æquetur nihilo, adeoque ſit e= f + g, ni-
mirum reſpectu primi plani AB ſummas diſtantiarum hinc,
& inde æquales eſſe.
244.
Si aliqua puncta ſint in altero ex iis planis, ea ſupe-
22Complemen-
tum demon-
ſtrationis, ut
extendatur ad
omnes caſus. rioribus formulis contineri poſſunt, concepta zero ſingulorum
diſtantia a plano, in quo jacent; ſed & ii caſus involvi facile
poſſent, concipiendo alias binas punctorum claſſes; quorum
priora ſint in priore plano A B, poſteriora in poſteriore CB,
quæ quidem nihil rem turbant: nam prioris claſſis diſtantiæ a
priore plano erunt omnes ſimul zero, & a poſteriore æquabun-
tur diſtantiæ O ductæ in eorum numerum, quæ ſumma acce-
dit priori ſummæ punctorum jacentium citra; poſterioris au-
tem claſſis diſtantiæ a priore erant prius ſimul æquales ſummæ
ipſorum ductæ itidem in O, & deinde fiunt nihil;
22Complemen-
tum demon-
ſtrationis, ut
extendatur ad
omnes caſus. rioribus formulis contineri poſſunt, concepta zero ſingulorum
diſtantia a plano, in quo jacent; ſed & ii caſus involvi facile
poſſent, concipiendo alias binas punctorum claſſes; quorum
priora ſint in priore plano A B, poſteriora in poſteriore CB,
quæ quidem nihil rem turbant: nam prioris claſſis diſtantiæ a
priore plano erunt omnes ſimul zero, & a poſteriore æquabun-
tur diſtantiæ O ductæ in eorum numerum, quæ ſumma acce-
dit priori ſummæ punctorum jacentium citra; poſterioris au-
tem claſſis diſtantiæ a priore erant prius ſimul æquales ſummæ
ipſorum ductæ itidem in O, & deinde fiunt nihil;